Combien de zéros y a-t-il dans 2 crores?

Meilleure réponse

Il peut y avoir une réponse de trois manières.

1. 2,00,00,000 – Cest 2 crore. Le nombre de zéros est 7.
2. 2 Crore – Pas de zéros ici. Seulement 2 et Crore, toujours crore a o dedans ne peut pas être considéré comme zéro.
3. 2,00,00,000 signifie, des zéros qui sont en nombres u = 2,00,00,000 cela va dun plage de linfini négatif à 2 crore. Les superordinateurs ne peuvent pas non plus calculer le nombre de zéros dans la plage mentionnée ci-dessus.

Réponse

La question, « Pourquoi un nombre élevé à la puissance de zéro est-il égal à un mais zéro élevé à la puissance zéro ne donne aucune réponse? » est auto-contradictoire. Il affirme que nimporte quel nombre (sans indiquer ce qui constitue un nombre) élevé à un exposant de 1 sans aucune exception (comme via un texte comme «nimporte quel nombre sauf \_\_\_»), puis procède en affirmant que 0⁰ «ne donne aucune réponse». Eh bien, puisque 0 est un nombre, la première assertion signifie 0⁰ = 1 alors que la deuxième assertion dit que 0⁰ est indéfini – nous ne pouvons pas avoir les deux vrais.

En fait, la première assertion doit être considérée comme inconditionnellement vraie et la deuxième assertion est fausse; donc, 0⁰ = 1.

Les arguments habituels appelant à 0⁰ à considérer comme indéfini:

1. 0⁰ = 0¹⁻¹ = 0¹ / 0¹ = 0/0, qui nest pas défini, donc 0⁰, qui a été démontré égal à 0/0, doit également être indéfini. (Une valeur positive peut être remplacée par 1.) Ceci tente dutiliser une loi de division des pouvoirs, mais cest une tentative invalide. La loi de division des pouvoirs pertinente nest pas simplement x ^ {a-b} = \ frac {x ^ a} {x ^ b}, mais elle a des restrictions ou des conditions qui doivent être énoncées et obéies. Lune des nombreuses restrictions est quaucune partie de lapplication de cette loi de division des pouvoirs nest autorisée à impliquer une division par 0 ou une réciproque de 0. Cette restriction a été violée, nous ne sommes donc pas autorisés à écrire 0¹⁻¹ = 0¹ / 0¹. Parce que légalité pour létape du milieu ne tient pas, nous ne pouvons pas dire que lextrémité gauche est égale à lextrémité droite. Le même argument invalide peut être utilisé pour prouver que 0³ nest pas défini, ce que nous savons est absurde: 0¹ = 0 par définition de lexposant 1; 0² = 0¹⁺¹ = 0¹ × 0¹ = 0 × 0 = 0; 0⁴ = 0²⁺² = 0² × 0² = 0 × 0 = 0; 0³ = 0⁴⁻¹ = 0⁴ / 0¹ = 0/0, qui nest pas défini.
2. x ^ 0 = 1 pour tous les non-nuls x . 0 ^ x = 0 pour tout x différent de zéro. Si nous laissons x = 0, alors les déclarations ci-dessus impliqueraient 0⁰ = 1 et 0⁰ = 0, ce qui est une contradiction, donc 0⁰ doit être indéfini. Lorsque les gens font cet argument, ils ne sarrêtent pas assez longtemps pour réfléchir à ce quils disent. La deuxième instruction est valable pour et uniquement pour un réel positif x . Il est incorrect de dire « pour tous les x différents de zéro » pour la deuxième relation. Cependant, la première relation est en effet valide pour le réel négatif x ainsi que pour le réel positif x , plus, au-delà de cela, la première relation est vraie pour tous les complexes non nuls et quaternion x , ce que la seconde relation ne peut pas dire. Cela na pas de sens de donner un poids égal à un cas qui ne fonctionne que pour des valeurs réelles positives à un cas qui fonctionne pour toutes les valeurs réelles, complexes et quaternaires non nulles – la généralité beaucoup plus large de cette dernière vaut beaucoup. De plus, pour la deuxième relation, le x = 0 cas en question est à la limite entre les cas significatifs et les cas non significatifs, alors pourquoi supposerons-nous que les cas significatifs sont ceux qui sappliquent et qui sappliquent sans ajustement?
3. La limite de x ^ y comme x et y indépendamment lapproche 0 nexiste pas car la valeur de la tendance dépend du chemin dapproche de x et y vers 0: il existe une large bande de valeurs possibles. (Parfois, cet argument est combiné avec le n ° 2 ci-dessus.) Le problème avec cet argument est que le fait quune fonction soit définie à un point et, dans laffirmative, quelle est la valeur, est indépendant du fait que la fonction a une limite à lapproche de ce point et, si oui, quelle est la valeur de la limite. Il est fort possible quaucun des deux nexiste; il est fort possible que lun ou lautre existe mais pas lautre; il est fort possible que les deux existent, auquel cas les deux valeurs peuvent ou non être identiques. Par conséquent, le fait que x ^ y na pas de limite comme x et y lapproche 0 ne dit rien sur le fait de savoir si 0⁰ est défini ou non. La discussion des limites quant à savoir si 0⁰ a une valeur est totalement hors de propos.La fonction signum est un exemple de fonction avec une limite dépendant du chemin lorsque x sapproche de 0 mais sgn 0 est défini – en particulier, sgn x est défini comme étant 1 pour un réel positif x , 0 pour x = 0 et −1 pour un réel négatif x , donc x approcher 0 de la gauche donne une limite de −1 et x approcher 0 de la droite donne une valeur de 1, avec le conflit signifiant que la limite ne existe, même si sgn 0 = 0. Un tel manque de limite ne nous justifie pas de dire que sgn 0 doit être indéfini.

Cela supprime les arguments les plus courants utilisés pour justifier considérant 0⁰ comme non défini, alors maintenant cela soulève la question de savoir quelle valeur, le cas échéant, 0⁰ devrait être définie comme?

Largument fondamental implique le principe dopération nul appliqué à multipl ication. Le produit daucun facteur doit être considéré comme lidentité multiplicative 1; symboliquement, \ prod\_ {i = 1} ^ {0} x\_i = 1. (Pour calculer x ⁰, x\_i = x; pour calculer 0 !, x\_i = i.) Cette propriété ne dépend pas du fait que tous les candidats x\_i sont différents de zéro, ou certains sont différents de zéro et certains sont 0, ou tous sont 0. Il ny a pas de cas dexception. Ainsi, nous avons 0! = 1 et nous avons x ⁰ = 0 sans restriction pour tous les quaternions (pas seulement tous les nombres réels, pas seulement tous les nombres complexes), donc 0⁰ = 1.

Lautre critère clé est lutilité. Les mathématiciens définissent les choses parce quelles sont utiles pour leurs recherches. Si une définition nest pas utile, il ne sert à rien de la faire, alors est-ce que 0⁰ = 1 est réellement utile, en plus du point de vue de la règle du produit vide? La réponse est un oui retentissant. Prenez la série de puissance pour \ text {e} ^ x: \ text {e} ^ x = \ sum\_ {i = 0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ i} {i!}. Les mathématiciens ont prouvé que cette série de puissances converge pour tout nombre complexe x et que le résultat est bien \ text {e} ^ x. Puisque 0 est un nombre complexe et que cette série de puissance fonctionne pour tous les nombres complexes, elle doit fonctionner pour x = 0. Développons dabord la sommation: \ text {e } ^ x = \ frac {x ^ 0} {0!} + \ frac {x ^ 1} {1!} + \ frac {x ^ 2} {2!} +…. Alors, que se passe-t-il pour x = 0? Nous avons: \ text {e} ^ 0 = \ frac {0 ^ 0} {0!} + \ Frac {0 ^ 1} {1!} + \ Frac {0 ^ 2} {2!} +….

Nous savons que 0 élevé à un exposant positif est 0, ce qui sapplique à tous les termes sauf le premier sur le côté droit de =; tous ces termes ne font rien pour quils puissent disparaître. Nous savons également que tout nombre complexe différent de zéro élevé à un exposant de 0 est égal à 1, et e est un nombre complexe différent de zéro, donc \ text {e} ^ 0 = 1. Par conséquent, nous avons maintenant: 1 = \ frac {0 ^ 0} {0!}. Les mathématiciens conviennent que 0! = 1 (règle de produit vide). Par conséquent, 1 = \ frac {0 ^ 0} {0!} = \ Frac {0 ^ 0} {1} = 0 ^ 0. Regardez ce que nous venons de déterminer: 0⁰ = 1. Pour que cette série de puissance fonctionne, nous devons soit avoir 0⁰ défini comme étant 1, soit écrire une mise en garde spéciale avec la série de puissance pour laquelle elle sapplique, et uniquement pour, complexe non nul x et indiquez explicitement séparément que e⁰ = 1. Pourquoi une telle complication inutile dexprimer la série de puissances juste pour éviter de définir 0⁰ = 1 sans raison substantielle?

Le même genre de chose sapplique à de nombreuses autres séries de puissance, aux polynômes, au théorème binomial, à divers problèmes de combinatoire et à dautres applications. Il y a de nombreux cas de simplification et de généralisation significatives qui se produisent alors nous définissons 0⁰ = 1.

Il nexiste aucun cas pour lequel il est utile de considérer 0⁰ comme une valeur autre que 1 ni de considérer 0⁰ comme indéfini. La situation la plus proche qui se présente est dans certaines situations de la recherche en analyse réelle où est-il utile davoir des fonctions continues dans tout leur domaine. En raison des problèmes avec les limites pour x ^ y approchant (0; 0), cela rend x ^ y discontinu à (0; 0), indépendamment du fait que 0⁰ lui-même soit défini et, si oui, à quelle valeur. Retirer un point du domaine revient en fait à considérer la fonction comme non définie à ce point. Cependant, ce nest pas parce quil est utile dextraire (0; 0) du domaine de x ^ y pour votre recherche que cela ne signifie pas que cela doit être fait dans tous les aspects des mathématiques. Je pourrais avoir besoin de traiter des fonctions bijectives pour soutenir linvertibilité. Si je travaille avec x ² et que jai besoin dinversibilité, je dois restreindre le domaine à quelque chose comme lensemble des nombres réels non négatifs, ce qui signifie pour mes besoins que (- 3) ² nest pas défini, ce qui serait une restriction ridicule à vous imposer; de même, certains mathématiciens ayant besoin de 0⁰ non défini ne signifie pas quil sagit dune restriction imposée à tous les mathématiciens.En fait, la règle du produit vide prévaut dans le contexte des exposants entiers, alors que les problèmes de continuité se produisent uniquement dans le contexte des exposants réels. Une solution possible est de considérer 0⁰ = 1 lorsque lexposant est un entier 0 mais indéfini lexposant est un réel 0; si cela vous semble étrange que la réponse dépende de la question de savoir si une valeur est considérée comme un entier par rapport à un nombre réel plus général, ce nest pas unique à 0⁰ pour la fonction puissance, car (-8) ^ {1/3} est considéré comme −2 si le −8 est considéré comme un nombre réel, mais comme égal à 1 + i√3 si le −8 est considéré comme un nombre complexe. La fonction power x ^ y a lair si simple mais elle a un comportement vraiment désagréable.