Meilleure réponse
Deux quantités sont dans le nombre dor si leur rapport est le même que le rapport de leur somme à la plus grande des deux quantités.
Maintenant, si nous laissons a et b (b> a) deux quantités dans le nombre dor,
\ dfrac {b} {a} = \ dfrac {a + b} {b} \ overset {\ mathrm {def} ^ n} {=} \ varphi \ tag * {}
\ dfrac {b} {a} = \ dfrac {a} {b} +1 \ tag * {}
\ dfrac {b} {a} = \ dfrac {1} {\ frac {b} {a}} + 1 \ tag * {}
\ varphi = \ dfrac {1} {\ varphi} +1 \ tag * {}
\ varphi ^ 2- \ varphi-1 = 0 \ tag * {}
La formule quadratique révèle que,
\ varphi = \ dfrac {1+ \ sqrt {5}} {2} \ approx 1.618 \ tag * {}
(Lautre solution donne \ frac {a} {b} ou \ varphi ^ {- 1} )
Comme dautres lont mentionné, le rapport entre deux nombres de Fibonacci consécutifs se rapproche également de \ varphi.
En fait pour toute séquence satisfaisant la relation de récurrence (avec des valeurs de départ A\_0, A\_1 pas les deux 0 car cela deviendrait une séquence constante ),
A\_n = A\_ {n-1} + A\_ {n-2} \ tag * {}
La limite de \ dfrac {A\_n} {A\_ {n-1}} à lapproche de n \ à 0 \ varphi .
Cela peut être prouvé en laissant L être la limite,
L = \ lim \ limits\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {A\_n} {A\_ {n-1 }} \ tag * {}
En utilisant la récurrence,
L = \ lim \ limits\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {A\_ {n-1} + A\_ { n-2}} {A\_ {n-1}} \ tag * {}
L = 1 + \ lim \ limits\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {A\_ {n-2}} {A\_ {n-1}} \ tag * {}
L = 1 + \ lim \ limits\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {1} {\ frac {A\_ {n-1} } {A\_ {n-2}}} \ tag * {}
L = 1 + \ dfrac {1} {L} \ tag * {}
Encore une fois en multipliant par par L et en utilisant la formule quadratique, vous pouvez montrer que
L = \ varphi \ tag * {}
Réponse
Construction par boussole et règle
Scott Beach a développé un moyen de représenter ce calcul de phi dans une construction géométrique:
Comme le partage Scott sur son site web: Triangle ABC est un bon tria ngle, où la mesure de langle BAC est de 90 degrés. La longueur du côté AB est 1 et la longueur du côté AC est 2. Le théorème de Pythagore peut être utilisé pour déterminer que la longueur du côté BC est la racine carrée de 5. Le côté BC peut être prolongé dune unité de longueur pour établir le point D. Le segment de ligne DC peut ensuite être divisé en deux (divisé par 2) pour établir le point E. La longueur du segment de ligne EC est égale à Phi (1,618…).
Phi nomenal!
Source: http://www.goldennumber.net/phi-formula-geometry/