Meilleure réponse
Ce nest pas une rotation pour 45 ^ o. Cest la transformation pour faire pivoter un vecteur dans \ mathbb {R} ^ 2 par un angle \ theta. Vous pouvez dériver la formule comme ceci:
Faites tourner le vecteur \ mathbf {V} dun angle \ theta sous une transformation pour obtenir le nouveau vecteur \ mathbf {V « }.
Soit r = | \ mathbf {V} |. Ensuite, nous avons les relations:
v\_x = r \ cos \ alpha
v\_x « = r \ cos (\ alpha + \ theta)
v\_y = r \ sin \ alpha
v\_y » = r \ sin (\ alpha + \ theta)
Doù, vous avez les relations:
v\_x « = v\_x \ cos \ theta – v\_y \ sin \ theta
v\_y « = v\_x \ cos \ theta + v\_y \ sin \ theta
Ceci est représenté sous forme de matrice comme
\ begin {pmatrix} v\_x » \\ v\_y « \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} \ cos \ theta && – \ sin \ theta \\ \ sin \ theta && \ cos \ theta \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} v\_x \\ v\_y \ end {pmatrix}
Réponse
Il y a plusieurs façons dattaquer ce problème.
La première est tout simplement dinvoquer la rotation de Euler » théorème, qui stipule que tout nombre fini de rotations autour dun seul point fixe (mais autour daxes arbitraires en nd imensions) peut être exprimée comme une seule rotation dangle \ theta autour dun axe \ hat {n}.
Si nous acceptons que chaque rotation est représentée par une matrice, et que la méthode de rotation dun vecteur est multiplication matricielle, il en découle immédiatement que le produit des matrices de rotation A\_1 A\_2 … A\_n doit aussi être une matrice de rotation – sinon nous avons violé le théorème de rotation dEuler.
La question est, bien sûr, comment vous prouvez ce théorème.
Le travail original dEuler est… grossier. Cela implique de très nombreux triangles dessinés à la surface des sphères (cest-à-dire des triangles non euclidiens).
Si vous avez envie de suivre la preuve jusquà la fin, la page wikipedia liée plus tôt semble faire un travail à moitié décent.
Une méthode alternative (ou, de manière équivalente, une façon secondaire de prouver le théorème dEuler, je suppose), est de directement utiliser les propriétés des matrices de rotation, avec une petite excursion dans la théorie des groupes.
Une rotation, mathématiquement parlant, est toute opération dans laquelle les distances entre tous les points de lespace restent constantes, et qui laisse un point, ou ensemble de points, fixes (en supposant que nous « sommes sur un espace euclidien simple), en plus de préserver la structure dorientation de lobjet.
Dans le langage de la théorie des groupes, nous appelons ces opérations (sur lespace euclidien ) le «Groupe orthogonal spécial en n dimensions», ou SO (n) en abrégé.
Les matrices A qui sont membres de SO (n) sont définies par les deux propriétés suivantes:
- A ^ TA = 1\_n (le bit orthogonal)
- \ text {det} (A) = 1 (le bit spécial)
Ie les matrices de rotation sont des matrices orthogonales avec un déterminant. Ici 1\_n est la matrice didentité en n dimensions.
La condition «dorthogonalité» est la condition qui garantit que les distances sont préservées, puisque dans lespace euclidien nous avons la longueur dof un vecteur \ mathbf {v} étant:
\ displaystyle d ^ 2 = \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v} \ tag * {}
Si nous faisons pivoter ce vecteur, tel que \ mathbf {v} ^ \ prime = A \ mathbf {v}, avec A un vecteur orthogonal, puis, par les propriétés de multiplication matricielle:
\ displaystyle \ mathbf {v} ^ \ prime \ cdot \ mathbf {v} ^ \ prime = \ mathbf {v} ^ TA ^ TA \ mathbf {v} = \ mathbf {v} ^ T \ mathbf {v} = d ^ 2 \ tag * {}
Par conséquent, le la distance d na pas été affectée par la rotation.
Toutes les matrices orthogonales ont un déterminant \ pm 1, mais celles avec un déterminant négatif incluent également une réflexion de retournement de miroir autour dun axe. Étant donné que nous voulons des rotations pures, pas des réflexions, afin de préserver lorientation des objets dans notre espace, nous nous limitons donc à ceux avec des déterminants positifs – doù vient le bit «spécial».
Le fait que jai mentionné que ces structures forment un Groupe (lopération associée étant la multiplication matricielle) est en fait suffisant pour conclure que le produit de plusieurs matrices de rotation est en fait aussi une rotation, puisque les groupes sont définis comme c perdu sous lopération de groupe .
Cela signifie que deux éléments quelconques g\_1 et g\_2 dans un groupe G, avec lopération de groupe g\_1 \ bullet g\_2 doit renvoyer un troisième élément, g\_3, qui est également membre du groupe G. Donc si A et B sont des matrices de rotation, de la définition dun groupe, il suit que A \ bullet B = AB est aussi une matrice de rotation.
Bien sûr… cest une solution de triche. Afin de déclarer que SO (n) était un groupe, je dois prouver que cétait vrai! Il peut également être montré explicitement à partir des propriétés générales suivantes de la transposition et du déterminant:
- (AB) ^ T = B ^ TA ^ T
- \ text {det} (AB) = \ text {det} (A) \ text {det} (B)
On construit donc une matrice C = AB, où A et Bare membres de SO (n) .
On considère alors:
- C ^ TC = (B ^ TA ^ T) (AB) = B ^ T (A ^ TA) B = B ^ TB = {1\_n}
- Puisque A ^ TA = 1\_n et B ^ TB = 1\_n, et lassociativité de la multiplication matricielle.
- \ text {det} (C) = \ text {det } (AB) = \ text {det} (A) \ text {det} (B) = 1 \ times 1 = 1
On voit donc que C est une matrice orthogonale, avec un déterminant – cest-à-dire quil est membre de SO (n), et donc est une matrice de rotation.
Nous avons donc prouvé que SO (n) (et bien O (n)) forme un groupe qui est fermé sous multiplication matricielle, et donc, par définition, la concaténation de rotations multiples est en soi une rotation.
Nous avons donc prouvé le théorème de rotation dEuler.