Meilleure réponse
Commencez par la solution. Par exemple, si vous voulez que la solution soit x = 1, alors le facteur correspondant serait x – 1. Puisque cest la seule solution, il faudra que ce soit les deux facteurs, ce qui rend léquation
( x – 1) (x – 1) = 0
ou
x ^ 2 – 2x + 1 = 0
Réponse
Les solutions dune équation quadratique sont les deux points où le graphique croise laxe des x. Autrement dit, ce sont les deux valeurs de x qui rendent y nul sur le graphique.
Nous obtenons ces points en factorisant léquation. Nous réécrivons dabord léquation sous la forme 0 = ax ^ 2 + bx + c.
Si cest assez simple, nous pouvons factoriser le côté droit en le regardant. Par exemple, si léquation est: 0 = x ^ 2 + 7x + 12, avec un peu de pratique, vous pouvez reconnaître que cela prend en compte 0 = (x + 3) (x + 4).
La raison la factorisation est si importante est le fait que si le produit de deux nombres est égal à zéro, lun des termes DOIT être zéro. Donc, puisque nous avons 0 sur le côté gauche et un produit sur le côté droit (x + 3) (x + 4), lun de ces termes doit être nul.
Donc, soit x + 3 = 0, ou x + 4 = 0. Nous pouvons résoudre pour x dans les deux cas, et nous obtenons x = -3 ou x = -4. Cela signifie que le graphique de notre équation croise laxe des x en deux points, -3 et -4, donc le graphique de cette équation est une parabole (toutes les équations quadratiques sont des paraboles) décalée vers la gauche, et vers le bas, donc les deux les bras de la parabole croisent laxe des x à -3 et -4.
Parfois, il nest pas facile de factoriser léquation en la regardant. Nous pouvons utiliser la formule quadratique dans ce cas. (Cest vraiment amusant de dériver la formule quadratique – si vous ne savez pas comment et souhaitez que je vous montre, demandez simplement.)
Voici la formule quadratique:
x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2 – 4ac}} {2a}
Pour le tester, si on branche a, b et c à partir de notre équation, 0 = x ^ 2 + 7x + 12, puis a = 1, b = 7, c = 12, et en nous connectant à la formule, nous obtenons:
x = \ frac {-7 \ pm \ sqrt {7 ^ 2 – 4 (1) (12)}} {2 (1)}
= \ frac {-7 \ pm \ sqrt {49 – 48}} {2}
= \ frac {-7 \ pm \ sqrt {1}} {2}
= \ frac {-7 + 1} {2} et \ frac {-7 – 1} {2}
= \ frac {-6} {2} = -3, et \ frac {-8} {2} = -4. Donc ça a marché!
Daccord, tout cela est préliminaire à votre question. Votre question est, quand sont les solutions à linfini dune équation quadratique. Eh bien, réfléchissons à ce que cela signifie. Tout dabord, il est clair quil nest pas possible davoir une solution à linfini mais lautre solution finie. Si tel était le cas, nous aurions un nombre fini multiplié par linfini, qui ne peut pas être égal à zéro.
La question est donc de savoir si les deux solutions pour être linfini? À quoi cela ressemblerait-il?
Dans la formule quadratique, la seule façon de le rendre infini serait si a = 0. Alors le dénominateur serait zéro, et donc léquation entière serait «infini». Mais si a = 0, alors léquation nest plus quadratique, elle est linéaire, non? Par exemple, 0 = 0x ^ 2 + 7x + 12 équivaut à 0 = 7x + 12. Cest juste une ligne, elle est linéaire et non quadratique. Mais chaque ligne croise laxe des x quelque part, nest-ce pas? Le seul moment où ce nest pas le cas, cest lorsquil est parallèle à laxe des x. Autrement dit, quand il a une pente de 0. Cela signifie que b = 0. Nous avons donc maintenant 0 = 0x ^ 2 + 0x + c. En dautres termes, 0 = c. Mais alors c = 0.
En dautres termes, une telle équation nexiste pas. Comme la dit lautre réponse, toutes les équations quadratiques croisent laxe des x en un point fini. (Notez que ces points ne sont pas nécessairement réels! Si b ^ 2 – 4ac est négatif, alors léquation a en fait des racines imaginaires. Mais elles sont toujours finies.)