Meilleure réponse
Il existe plusieurs façons de résoudre une équation quadratique. Vous pouvez utiliser la fonction de solveur de complément. Je ne connais pas trop bien comment cela fonctionne, mais cest une suggestion pour vous.
Une autre façon que je connais est de créer un tableau ou de le représenter graphiquement.
Supposons que nous ayons le équation simple: 0 = x ^ 2 + 7x + 10. Maintenant, nous savons que si nous factorisons cela, nous obtenons (x + 5) (x + 2) = 0, cela signifie x = -2, -5. Mais en même temps, nous pouvons lutiliser comme guide pour voir comment vérifier notre solution dans Excel.
La première chose que nous pouvons faire est de créer un tableau Excel. Ce que jaime faire, cest créer un tableau Excel. Jai les valeurs x dans la plage de gauche de -50 à 50. Après cela, je peux simplement brancher léquation en tant que telle:
= [@x]*[@x] + 7*[@x] + 10
ou
=power([@x],2) + 7*[@x] + 10
[@x] est essentiellement la référence de cellule pour les valeurs x dans la colonne (je vais vous fournir une image de la façon dont cela fonctionne sous peu).
Si vous regardez léquation qui nous a été donnée précédemment, 0 = x ^ 2 + 7x + 10. Cela signifie que nous définissons y = 0 (car toute léquation est y). Cela signifie que, en termes de tableau Excel, nous devons rechercher les valeurs x dans le côté gauche qui auront un 0 prochain ourlet dans la colonne y. Observez ci-dessous:
Si vous remarquez, nous avons deux valeurs qui ont un zéro à côté deux, les -2 et -5. Voici les solutions de léquation.
Un autre exemple serait de représenter graphiquement votre équation. Ici, nous pouvons utiliser notre tableau Excel comme données de série pour tracer les points.
Tracer les points sur le graphique ne le rendra pas évident tout de suite. Vous devrez peut-être ajuster le minimum et le maximum daxes. Sur mon graphique, jai ajusté laxe des x pour quil varie de -10 à 5, et laxe des y de -10 à 10.
Si vous remarquez, le graphique croise x = -2 et croise autour de x = -5. Nous avons donc pu résoudre l’équation graphiquement également.
Réponse
Je suppose que vous voulez dire «difficile à factoriser». Considérons une expression générale de ax ^ 2 + bx + c.
Pour «résoudre» cela, nous définissons ceci égal à 0, et nous obtenons donc ax ^ 2 + bx + c = 0. Trouvez x est votre devoir.
Dieu, ce serait VRAIMENT utile sil y avait une solution simple qui fonctionnait pour tous les coefficients généraux. Heureusement pour nous, il y en a, et cest un peu facile à trouver (nessayez pas de faire cela avec des équations cubiques ou plus, eh bien vous pouvez essayer de le trouver, mais cest TRÈS difficile à trouver à ce niveau).
Nous voulons donc y réfléchir attentivement. Quel est le problème avec la résolution de x ici?
Dans une équation linéaire normale, comme ax + b = 0, cest facile. x est une occurrence. Le problème avec les quadratiques, cest ce format embêtant ax ^ 2 + bx, puisque notre stratégie de soustraction dune constante et de division pour obtenir x ne fonctionne pas, nous devons la mutiler et nous ne pouvons pas facilement utiliser la factorisation, car il y aura toujours un déficit «x» de un si nous essayons de factoriser par x ou x ^ 2.
Bon sang, que faisons-nous ici alors? Nous avons une partie au carré, cela doit signifier que nous devons en quelque sorte obtenir quelque chose au carré, comme (?) ^ 2 = gx ^ 2 + hx + e, où nous pourrions ajouter plus tard comme f pour être une constante que nous pouvons facilement soustraire comme notre exemple déquation linéaire. Clairement, le? doit contenir un x singulier quelque part, mais nous devons également ajouter une constante à la partie x, car la propriété distributive déformera la constante avec x, et le fera aussi avec x et lui-même, et une constante, créant un singulier x, sans exposant. Nous pourrons alors établir la racine carrée de toutes les constantes que nous avons de lautre côté, puis le résoudre comme une équation linéaire.
Alors, mettons-nous dans cette position.
Soit nous divisons notre équation dorigine des deux côtés par a, donc je peux obtenir un pur x ^ 2, et je nai pas besoin dutiliser \ sqrt {a} comme coefficient qui sera plus compliqué.
Nous obtenons x ^ 2 + \ frac {b} {a} x + c / a = 0.
Daccord, donc notre forme du? doit être x + k car il ne peut y avoir un coefficient de x qui n’en soit pas un car la distribution ne donnerait pas un «pur» x ^ 2. Quest-ce que k alors? Eh bien, réfléchissons un peu ici – nous voulons forcer dune manière à obtenir hx = \ frac {b} {a} x. Chaque fois que je mets au carré quelque chose, et que deux termes sont ajoutés, je dois utiliser la distribution pour aller «par morceaux». Puisque quand je la quadrille, je multiplie cette quantité (les deux termes étant additionnés) par elle-même, jobtiendrai comme mentionné le x ^ 2 du terme x, une constante du terme k, mais aussi kx en passant par k dans la première quantité multipliant x dans la seconde, et x et k dans lautre sens, mais je les ajoute pour obtenir 2kx. [pour voir cela, écrivez (x + k) (x + k), distribuez pour obtenir (x + k) x + (x + k) k. Maintenant, distribuez-le et dessinez les chemins pour obtenir x ^ 2 + kx + kx + k ^ 2, ce qui donne x ^ 2 + 2kx + k ^ 2]
Donc, quel que soit ce k va être, nous devons avoir 2kx = \ frac {b} {a} x mais cela signifie k = \ frac {b} {2a}. Ok, MAINTENANT, nous arrivons quelque part.Rappelez-vous le fait que nous sommes au carré, certains (x + k) ^ 2, et quand je développe cela get (x + k) (x + k), je vais suivre un chemin de multiplication par distribution. Un de ces chemins que je dois suivre est k fois k, mais nous savons déjà ce quest k, donc nous devons avoir une constante k ^ 2 = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}. Alors, ajoutons simplement cela des deux côtés, ce que nous pouvons faire, puisque cest constant et que nous ne nous soucions pas de la constante que nous obtenons de lautre côté, nous voulons juste prendre en compte correctement ce désordre.
Nous faisons exactement cela, et obtenons
x ^ 2 + \ frac {b} {a} x + \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2} + c / a = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}
Et maintenant, nous avons tous les termes qui nous permettent de factoriser cela dans un (x + k) ^ 2 = format constant, exactement ce que nous voulions! Nous avons trouvé que k était \ frac {b} {2a}, donc nous tenons simplement compte de cela.
(x + \ frac {b} {2a}) ^ 2 + c / a = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}
Maintenant, nous voulons corriger ce gâchis, notez que nous allons finalement à la racine carrée une fois que nous soustrayons les constantes, et nous avons en un terme un dénominateur de 4a ^ 2, qui est très facilement à racine carrée. Rendons c / a compatible avec cela, en le multipliant par 1, ce qui ne change rien, mais 1 = 4a / 4a. Nous navons pas à nous soucier de a = 0 car si cétait le cas, nous aurions une équation linéaire, ce sur quoi nous ne nous concentrons pas.
Donc, nous obtenons (x + \ frac {b } {2a}) ^ 2 + 4ac / 4a ^ 2 = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}
Excellent, alors soustrayez maintenant le deuxième terme car ils ont des dénominateurs communs, et nous get
(x + \ frac {b} {2a}) ^ 2 = \ frac {b ^ 2-4ac} {4a ^ 2}
Et le côté droit est constant maintenant , nous pouvons facilement créer une racine carrée des deux côtés!
Nous obtenons
x + \ frac {b} {2a} = \ frac {\ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a }
Ce nest pas tout à fait correct, car nous devons réaliser que lorsque je racine carrée un nombre positif, d ^ 2, d peut être positif ou négatif. Donc, pour faire bonne mesure, nous ajoutons un signe plus ou moins, et nous obtenons
x + \ frac {b} {2a} = \ frac {\ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} { 2a}
Et nous pouvons maintenant soustraire ce k, car nous avons maintenant une équation linéaire à résoudre, comme nous le voulions, et nous obtenons
x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a}