Meilleure réponse
Une transformation matricielle est sur si et seulement si la matrice a une position pivot dans chaque ligne. Réduisez-le en ligne, puis vérifiez si le nombre de pivots est égal au nombre de lignes.
Ok, avec cela à lécart, je dois faire mon diatribe maintenant.
Chaque fois que quelquun applique ladjectif «sur» ou «linéairement indépendant» à une matrice, je grince un peu. Cest une erreur de catégorie. À la place, dites: « Comment savoir si une transformation matricielle est activée? »
Vous voyez, la terminologie est très importante en mathématiques . La beauté de lalgèbre linéaire est que, étant donné un système linéaire ou une transformation linéaire, vous pouvez écrire une matrice, qui est juste un rectangle avec des nombres, associé à ce système linéaire ou transformation linéaire. Ensuite, faire diverses choses avec la boîte de nombres vous donne retour toutes sortes dinformations sur le système ou la transformation dorigine. Lalgèbre linéaire est principalement létude de ces relations. Cependant, la plupart des étudiants en algèbre linéaire, lorsquils utilisent la terminologie de manière incorrecte, révèlent quils ne comprennent pas très bien comment il existe en fait des concepts séparés à relier.
Ladjectif «sur» ne sapplique tout simplement pas aux matrices. Cest comme demander: «Comment savoir si un lit est endormi?» Le fait que vous posiez cette question signifie que vous ne comprenez pas ce que signifie somnolent ou ce que lit signifie, ou les deux.
Voici une feuille de triche avec les principaux types dobjets rencontrés en algèbre linéaire, ainsi que quelques-unes des terminologies les plus courantes utilisées pour les décrire:
Pour les matrices A, B , les phrases suivantes ne sont pas du charabia:
– A est dans (forme échelon ligne / forme échelon ligne réduite)
-pivot (positions / lignes / colonnes ) sur A;
-A est (carré / diagonale / inversible / triangulaire supérieur / triangulaire inférieur)
– (Rang / Déterminant / Valeurs propres / Vecteurs propres / Polynôme caractéristique) de A
– (espace nul / espace colonne) de A;
– A est (ligne équivalente / similaire) à B
-La transformation matricielle \ mathbf x \ mapsto A \ mathbf x
Si A x = b est un système déquations linéaires , les expressions suivantes ne sont pas du charabia:
– (Solution / Ensemble de solutions / Solution générale) du système
-Le système a (une solution unique / pas de solutions / une infinité de solutions / n variables libres)
-Le système est (cohérent / incohérent / sous-déterminé / surdéterminé)
– (matrice de coefficients / augmenté matrice) du système
Si T: \ mathbb R ^ n \ mapsto \ mathbb R ^ m est une transformation linéaire , ce qui suit les phrases ne sont pas des gibberi sh. Notez que si A est une matrice, alors on peut parler de la transformation matricielle \ mathbf x \ mapsto A \ mathbf x, qui est une transformation linéaire.
– (Domaine / Codomaine / Plage) de T
– T est (sur / un-à-un / inversible)
-Matrice standard de T; matrice de T par rapport aux bases \ beta\_1, \ beta\_2
– (Rang / Déterminant / Valeurs propres / Vecteurs propres / Caractéristique polynôme) de T
Si S = \ {v\_1, v\_2, \ ldots, v\_n \} est un ensemble de vecteurs dans \ mathbb R ^ m , les phrases suivantes ne sont pas du charabia. Notez que si A est une matrice m \ times n, alors les colonnes de la forme A un tel ensemble.
– S est linéairement (indépendant / dépendant)
-Échelle de S
-S (sétend sur V / est une base pour V ), où V est un sous-espace de \ mathbb R ^ m
Réponse
Une matrice carrée de dimension finie est sur juste au cas où son déterminant est non nul. Vous pouvez vérifier cela plus efficacement avec lélimination gaussienne.
Plus généralement, une matrice rectangulaire finie est sur juste au cas où sa transposition est injective, ce qui se produit juste au cas où les lignes (ou colonnes de la matrice dorigine, selon la convention que vous utilisez pour lentrée et quelle est la sortie) sont linéairement indépendantes, cest-à-dire que la matrice a un rang de ligne complet. Encore une fois, lélimination gaussienne est votre ami: mettez la matrice sous forme déchelon de ligne et vérifiez si lentrée en bas à droite est zéro (de manière équivalente, si il y a des lignes de tous les zéros). La matrice est sur si et seulement si lentrée en bas à droite est différente de zéro.