Meilleure réponse
Gavin Song vous a déjà donné une excellente réponse, mais je ferai de mon mieux pour vous proposer une alternative manière de regarder ce problème en utilisant le calcul.
Fait: Toute ellipse 2D peut être paramétrée comme
\ begin {align *} y (t) & = a \ sin (t) \\ x (t) & = b \ cos (t) \ end {align *}
Où 0 \ leq t \ leq 2 \ pi et a et b sont les semi-mineurs et semi-majeurs axes (aka les rayons vertical et horizontal) respectivement.
Considérons quun point a un changement dans laxe des x et un autre dans laxe des y, disons \ Delta y et \ Delta x. En utilisant le théorème de Pythagore, nous savons que la longueur entre la position initiale et finale du point est donnée par (\ Delta y ^ 2 + \ Delta x ^ 2) ^ {1/2}. Cest simple?
Maintenant, appliquez cette logique à lellipse paramétrée. Afin de se rapprocher du périmètre de lellipse, nous pourrions «suivre» un point de lellipse sur plusieurs pas en t, mesurer la longueur entre ses emplacements à chaque intervalle et les additionner à la fin. Si vous essayez de le faire vous-même, vous remarquerez que la mesure devient de plus en plus précise si nous considérons des intervalles de plus en plus petits. Donc, pour obtenir le vrai périmètre, nous pourrions effectuer ce processus pour des intervalles infiniment petits, ce qui donnerait des changements infiniment petits de x et y, disons dx et dy. Cela équivaut à évaluer lintégrale suivante:
\ int\_ {0} ^ {2 \ pi} (dx ^ 2 + dy ^ 2) ^ {1/2}
Soit le périmètre exprimé par l. Si nous utilisons la paramétrisation précédente, nous pouvons lexprimer comme
\ begin {align *} l & = \ int\_ {0} ^ {2 \ pi} \ Big (\ Big (\ frac {dy } {dt} \ Big) ^ 2 + \ Big (\ frac {dx} {dt} \ Big) ^ 2 \ Big) ^ {1/2} dt \\ & = \ int\_ {0} ^ {2 \ pi } (a ^ 2 \ cos ^ 2 (t) + b ^ 2 \ sin ^ 2 (t)) ^ {1/2} dt \ end {align *}
Il y a cependant un piège. Cette intégrale na pas de solution symbolique à moins que a = b (qui nous donne élégamment la formule pour le périmètre dun cercle), donc notre seule option est dutiliser des méthodes numériques pour obtenir une bonne approximation. Cela peut être intéressant ou décevant pour vous, mais dans tous les cas, jespère que cela vous a aidé.
🙂
Réponse
Si vous me supportez, je le ferai considérez cette question en sens inverse.
Supposons quun cercle et une ellipse ont des aires égales.
Ma question est « Ont-ils les mêmes périmètres? »
(Notez que lorsque a = b = r la formule est la même que laire du cercle.)
La circonférence de un cercle est 2πr
La circonférence dune ellipse est très difficile à calculer!
Les gens ont essayé de trouver des formules pour trouver la circonférence dune ellipse mais la plupart des tentatives ne sont que des approximations.
Certaines méthodes impliquent même de sommer des séries infinies!
Le célèbre mathématicien indien Ramanujan a élaboré une très bonne formule qui est assez précis.
Notez que si a = b = r alors lellipse devient un cercle et la formule ci-dessus se transforme en formule pour la circonférence du cercle C = 2πr .
Si nous substituons ceci dans sa formule, nous obtenons:
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
Prenons un exemple particulier où le cercle a un rayon de 6 cm et une ellipse a un axe majeur de 9 cm et un axe mineur 4 cm.
Aire du cercle = π × 6 × 6 = 36π cm2
Aire de ellipse = π × 9 × 4 = 36π cm2
———————————————— ——————————
La circonférence du cercle = 2πr = 12π cm
La circonférence de lellipse en utilisant la formule de Ramanujan est:
——————————————————————————————— ————
Conclusion, si le cercle et lellipse ont la même aire, alors lellipse a une plus grande circonférence que le cercle .