Meilleure réponse
Aucune des deux phrases nest grammaticalement correcte. Les deux ont un décalage entre le mot singulier «livraison» et le mot pluriel «eux». Il doit indiquer soit «Veuillez accélérer la livraison car notre client en a besoin de toute urgence», ou sil y a plus dun colis, «Veuillez accélérer les livraisons car notre client en a besoin de toute urgence». Quant à la phrase à utiliser après avoir corrigé cette discordance, cela dépendra du fait que vous recevez lenvoi pour vous-même ou pour le compte dun client, et sil est livré à vous ou au client. Si larticle vous est livré pour votre propre usage, le second sera le bon. Vous ne vous désigneriez pas à la troisième personne comme « le client ». Si vous le recevez pour lun de vos clients, vous pouvez utiliser lun ou lautre. Sil est expédié directement au client, vous utiliserez le premier. Bien que lexpéditeur ne se soucie probablement pas de savoir qui en a besoin de toute urgence, vous pouvez simplement dire: « Il est nécessaire de toute urgence ».
Réponse
Il existe des différences dans la signification des deux phrases: « notre client » nest pas « nous ».
La deuxième occurrence de « avoir besoin » devrait être « besoin » et non « besoins ».
Cest dommage que nous avoir une peine aussi limitée. Nous ne savons pas de quoi il sagit. Je serais tenté par: «Veuillez accélérer la livraison car notre client a besoin des marchandises / de ces appareils / de ces articles (ceux…) de toute urgence.» Afin dêtre plus précis.