Meilleure réponse
Je vais présenter cela comme si tout le monde était daccord, ce qui nest pas vraiment vrai.
Chaque nombre, réel ou complexe, a deux racines carrées qui sont des négations lune de lautre. Lexception est zéro, qui est sa propre négation.
Le domaine de la racine carrée peut être les nombres réels ou les nombres complexes, et les conventions sont légèrement différentes. Concentrons-nous dabord sur la racine carrée des nombres réels.
Le signe radical \ sqrt {x} appliqué à un nombre réel désigne le principal ou racine carrée positive. Si x \ ge 0 alors \ sqrt {x} \ ge 0. Donc, pour répondre à la question avec des réserves, la racine carrée principale dun nombre positif est toujours positive, par définition.
La racine carrée principale de un réel négatif est un temps réel positif i. Même si les nombres complexes ne sont pas ordonnés, il y a un ordre important sur laxe imaginaire analogue à celui sur laxe réel.
Lorsque nous parlons de «racine carrée», nous nous référons généralement au racine carrée principale. Lorsque nous parlons de «racine carrée», nous voulons dire non plus. Dans cette question, lOP ne fournit pas darticle, donc aucune aide ici.
Quand nous avons affaire à des racines carrées de nombres réels, il est très important que nous comprenions
\ sqrt {x} \ ne \ pm \ sqrt {x}
Lorsque le domaine est réel, \ sqrt {x} est une fonction allant des nombres réels au complexe. Il prend une seule valeur unique pour chaque réel x. C’est toujours 0, un nombre réel positif ou un nombre réel positif multiplié par i. Cest lune des deux racines carrées qui a été définie comme étant la racine carrée principale.
À moins que les valeurs principales ne soient explicitement demandées, la racine carrée dun nombre complexe \ sqrt {z} doit être traitée comme un expression à plusieurs valeurs. Donc ici je dirais \ sqrt {z} = \ pm \ sqrt {z}.
Lorsque nous voulons explicitement lexpression à plusieurs valeurs, lexpression le fait référence aux deux racines carrées, soit w tel que w ^ 2 = z. Je préfère \ pm \ sqrt {z}. Mais \ pm peut devenir confus et ambigu, donc il peut aller dans les deux sens.
Plus controversé, je traite le nombre naturel réciproque comme un exposant, z ^ {\ frac 1 2}, comme lexpression à valeurs multiples faisant référence à toutes les racines, pas à une fonction.
Ce que signifie exactement légalité des expressions à plusieurs valeurs est généralement passé sous silence, en particulier le problème embêtant que 1 ^ {\ frac 1 2} \ ne 1 ^ {\ frac 2 4} . Peut-être.
Réponse
Hmm, celle-ci est délicate … Alors, voici:
La racine carrée est une fonction mathématique, et, le nom réel est une fonction racine carrée positive, qui donne évidemment toutes les valeurs + ve. La raison de cette distinction est que dans une fonction mathématique f (x, y) pour chaque valeur de x, il doit y avoir un valeur unique de y. Ainsi, la racine carrée de 4 ne peut pas être +2, -2, par définition! Ainsi, comme norme, nous prenons uniquement la fonction racine carrée pour être positive.
Cela crée beaucoup de confusion car le carré de +2 et -2 est 4, mais la racine carrée de 4 ne peut prendre que la valeur de +2, mais je suppose que cest lensemble de des règles que nous respectons. Nhésitez pas à penser à un système différent, où la fonction racine carrée donne à la fois les valeurs + ve et -ve, même si jimagine que cela conduirait à un désordre massif quelque part sur la route. Pourtant, la beauté de les maths sont en expérimentation!