Meilleure réponse
Pourquoi k comme constante de proportionnalité?
Pas seulement k . a, b, c, d, m, n, p, q sont des lettres en alphabet romain fréquemment utilisées comme constantes.
\ alpha, \ beta, \ gamma, \ eta, \ kappa, \ lambda, \ mu, \ pi, \ rho, \ tau et \ omega sont des lettres fréquemment utilisées dans lalphabet grec comme constantes.
Revenons à votre question – personne ne sait vraiment pourquoi. Mais je crois fermement que k est utilisé comme constante presque partout, car le mot allemand pour « constante » est konstante https://translate.google.com/#en/de/constant . Et devinez quoi? La première lettre de ce mot est k . Et les Allemands ont énormément contribué aux mathématiques depuis l’aube de celui-ci.
Je suis amené à croire de cette façon, car non seulement la constante de proportionnalité, k désigne également certaines constantes spécifiéeshttps: //en.wikipedia.org/wiki/Mathematical\_constant. Telles que – Constante de Boltzmann , Constante de Sierpiński « , Constante de Khinchin , Constante de Landau – Ramanujan – pour nen nommer que quelques-uns. Je ne peux que deviner quils (les mathématiciens concernés ou ceux qui les ont nommés) étaient conscients et affectés par le mot allemand konstante.
Cest tout. Merci davoir lu.
Réponse
Cette question met bien en évidence la différence entre la physique et les mathématiques.
Rappelez-vous que le but de toute équation en physique, y compris la deuxième loi de Newton, est simplement de modéliser une relation «dans le monde réel». Cela signifie que les quantités que nous choisissons dêtre constantes et celles que nous choisissons dêtre variables dépendent entièrement de la situation physique que léquation est censée modéliser.
Dans cet esprit, passons à la deuxième loi de Newton. Newton lui-même na pas initialement exprimé sa loi de cette façon. Il la plutôt exprimé (en mots) comme suit:
\ mathbf {F} = \ frac {d \ mathbf {p}} {dt}
Où \ mathbf {F} est la force (remarquez, la force est un vecteur), \ frac {d \ mathbf {p}} {dt} est le taux de changement de momentum \ mathbf {p} (également un vecteur).
Il est possible dinterpréter cela comme une définition de la force, et selon cette interprétation, il nest pas vraiment significatif dinsérer une constante de proportionnalité car une définition dune quantité indique généralement Nous définissons dans les termes les plus directs ce quest cette quantité en termes dune autre quantité.
Tel quil est écrit, cest bien sûr un ensemble de trois équations, qui spécifient la direction de la force dans lespace. Cependant, dans de nombreuses situations, la physique de la situation est telle que nous pouvons nous intéresser uniquement à lampleur de la force, puis cela se simplifie à
F = \ frac {dp} {dt}
La magnitude de lélan est maintenant donnée par p = mv. Lexpression la plus générale de la dérivée temporelle de cette quantité est
\ frac {dp} {dt} = v \ frac {dm} {dt} + m \ frac {dv} {dt}
Le premier terme à droite représente un objet se déplaçant à une vitesse constante pendant que sa masse change, tandis que le second représente un objet avec une masse constante se déplaçant à une vitesse variable. Maintenant, les situations qui nous intéressent le plus souvent à modéliser prennent la masse de lobjet comme constante. Cela signifie
\ frac {dm} {dt} = 0
Et par conséquent, le premier terme disparaît. Nous nous retrouvons avec
F = m \ frac {dv} {dt} = ma
Et maintenant cela devrait être évident: Dans cette équation, la constante de proportionnalité est m .
En effet, si nous avions voulu modéliser à la place, disons, une fusée se déplaçant à vitesse constante mais qui perd de la masse (cest-à-dire, sa masse évolue avec le temps) parce quil éjecte du carburant comme échappement qui le propulse vers lavant, nous écririons plutôt
F = v \ frac {dm} {dt}
Parce que une vitesse constante signifie
\ frac {dv} {dt} = 0
Et donc le deuxième terme de lexpression générale ci-dessus disparaît. Donc, dans cette équation, la constante de proportionnalité est v.
Ce que cela montre, jespère, cest que tout ce que nous considérons comme la constante de proportionnalité dépend entièrement des événements du monde réel et des relations entre eux. Par exemple, m est devenu une constante de proportionnalité entre les grandeurs de force et daccélération précisément parce que nous voulions modéliser une situation dans laquelle la masse de lobjet était constante.De même, v est devenu une constante de proportionnalité entre la magnitude de la force et le taux de changement de masse dans le temps précisément parce que nous voulions modéliser ce genre de situation.
Permettez-moi de comparer cela avec la façon dont une approche purement mathématique pourrait ressembler à. Rappelez-vous, la distinction est maintenant que nous ne nous soucions pas vraiment du fait que les équations modélisent la réalité, nous nous soucions seulement qu’elles soient cohérentes (et, bien sûr, qu’elles conduisent à de nouvelles mathématiques intéressantes). Donc, en ne faisant que des maths, je suis parfaitement libre de considérer la masse dans toutes les unités que je veux. Pour ramener le point à la maison, choisissons quelque chose de ridicule, comme des « blobs » comme unités de masse. Pour préserver la cohérence (et uniquement pour cette raison), je dois définir la relation entre les gouttes et les unités standard comme les kilogrammes. Disons que je définis
1 kilogramme = 3 Blobs
Eh bien, avec mes nouvelles unités, je dois maintenant insérer une constante de proportionnalité dans léquation, puisque les unités de Force, Newtons , ne contiennent pas de blobs. Donc, en considérant la masse en unités de blobs, abrégée par bb, F = ma devient
F = \ frac {1} {3} kma
Où
k = \ frac {1kg} {1bb} est ma constante de proportionnalité. Ou, si je suis un peu plus efficace mathématiquement, jécris
F = k « ma
Où
k » = \ frac {1kg} {3bb } est ma nouvelle constante de proportionnalité qui vient dabsorber la constante \ frac {1} {3}.
Le point de tout cela est que ces manipulations sont purement mathématiques. Les distinctions impliquées nont rien à voir avec les relations du monde réel que léquation est censée modéliser. Ils nont pas de contenu physique et cest pourquoi vous ne voyez pratiquement jamais rien de tel *.
Dans la plupart des situations, les seules constantes de proportionnalité que vous voyez en physique sont celles qui nous sont imposées par la physique du situation.
(* Je dis «essentiellement» parce quil y a des situations, en particulier dans lélectromagnétisme, où de tels problèmes surviennent en raison de différentes traditions de représentation des quantités, mais la plupart des physiciens ne les considèrent pas comme des «problèmes de physique» )