Meilleure réponse
Cest le bon moment pour montrer comment les mathématiques fonctionnent en prenant un concept intuitif mais vague, et en le faisant précis par des définitions intelligentes.
Que devrions-nous entendre par ci-contre? Eh bien, une chose raisonnable à dire est que lorsque nous effectuons une opération \ vee (appelez-la comme vous voulez, banane est un bon nom par exemple) sur x et son opposé x ^ *, le résultat devrait être un élément neutre n. Autrement dit, x et «anti-x» devraient sannuler lun lautre de sorte que x \ vee x ^ * = n. Notez que pour le moment nous ne savons pas grand-chose de la banane autre que ces propriétés formelles. Le concept de n étant neutre devrait en ce sens signifier que pour tout y, nous devrions avoir y \ vee n = y, cest-à-dire n naffecte pas y lorsque la banane est appliquée aux deux.
Ce concept dopposé est un concept fondamental en mathématiques, et le nom le plus courant pour x ^ * est inverse de x par rapport à lopération \ vee.
Lorsque \ vee est le addition ordinaire + de nombres, x ^ * est noté -x, puisque x + (- x) = 0 est lélément neutre. En effet, pour tout y, y + 0 = y. Donc, dans ce cas, lopposé de 0 est -0, qui est 0 lui-même!
Quand \ vee est la multiplication, lélément neutre est 1 (pourquoi?). Alors 0 na pas dopposé, car aucun nombre fois zéro nest un. Il y a des contextes dans lesquels les mathématiciens inventent un multiplicatif opposé à 0, et ils lappellent généralement \ infty, ce qui a du sens.
Réponse
Cela avait déjà fait lobjet dun débat dans la communauté mathématique jusquà ce que Donald Knuth remette les choses au clair en 1992, il est donc compréhensible quune certaine confusion persiste, mais la convention moderne est de définir 0 ^ 0 = 1, pour une bonne raison.
Quest-ce que 0 ^ 0 signifier? Peut-être vous a-t-on appris qu’une puissance zéro est calculée en divisant une puissance nième par une puissance nième (n> 0); cela naide pas dans le cas de 0 ^ 0, et conduit certaines personnes à associer 0 ^ 0 au quotient indéfini \ tfrac {0 ^ n} {0 ^ n} = \ tfrac00. Ces personnes ne se sont pas rendu compte que 0 ^ 2 est parfaitement bien défini et ne peut être associé au quotient indéfini \ tfrac {0 ^ {n + 2}} {0 ^ n} = \ tfrac00 – nous ne pouvons pas le prouver quoi que ce soit en introduisant une division par zéro là où il nen existait pas auparavant.
Mais nous navons pas du tout besoin de faire appel à la division:
- 1 \ cdot 0 ^ 3 = 1 \ cdot 0 \ cdot 0 \ cdot 0 = 0,
- 1 \ cdot 0 ^ 2 = 1 \ cdot 0 \ cdot 0 = 0,
- 1 \ cdot 0 ^ 1 = 1 \ cdot 0 = 0,
- 1 \ cdot 0 ^ 0 = 1 = 1.
Si je prends toutes vos pommes n fois (n> 0) , vous navez plus de pommes; mais si jenlève toutes vos pommes 0 fois, vous avez toujours toutes vos pommes. Plus concis, 0 ^ 0 = 1 est un cas du produit vide , tout comme 0! = 1.
Alors pourquoi cela a-t-il mis si longtemps à être accepté? Le problème apparent est que la forme limite 0 ^ 0 est une forme indéterminée, au sens où \ textstyle \ lim\_ {x \ to a} f (x) = \ lim\_ {x \ to a} g (x) = 0 ne vous donne aucune information * sur la limite \ textstyle \ lim\_ {x \ to a} f (x) ^ {g (x)}: cela pourrait être nimporte quel non négatif nombre réel, \ infty, ou peut ne pas exister, selon les fonctions particulières. Cela a semblé être en conflit avec la simple intuition ci-dessus pendant plus dun siècle. Mais la réalisation importante est que la forme limite indéterminée 0 ^ 0 ne nous empêche pas dattribuer une définition à la valeur 0 ^ 0 . Ce ne sont pas le même objet: la forme limite 0 ^ 0 nest quune abréviation pour la limite susmentionnée, et son indétermination signifie simplement que lexponentiation ne peut pas être une fonction continue dans nimporte quel voisinage de (0, 0).
Cela ne devrait pas être trop surprenant: par exemple, \ lfloor 0 \ rfloor est aussi une forme indéterminée (\ textstyle \ lim\_ {x \ to 0} \ lfloor x \ rfloor nexiste pas, \ textstyle \ lim\_ {x \ to 0} \ lfloor x ^ 2 \ rfloor = 0, \ textstyle \ lim\_ {x \ to 0} \ lfloor -x ^ 2 \ rfloor = -1 ), mais nous écrivons toujours \ lfloor 0 \ rfloor = 0 comme valeur.
Et nous attribuons maintenant 0 ^ 0 la valeur utile, qui est 1. Pourquoi est-ce utile? Parce que cela nous permet de manipuler les exponentielles sans ajouter de cas particuliers .
- Si \ textstyle p (x) = \ sum\_ {n = 0} ^ d a\_nx ^ n est un polynôme , alors p (0) = a\_0 est son terme constant – mais nous ne pouvons même pas écrire un polynôme de cette manière évidente à moins que 0 ^ 0 = 1. Il en va de même pour les séries de puissances infinies, où d est remplacé par \ infty.
- Lévaluation de la série géométrique infinie : \ begin {split} \ textstyle (1 – x) \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n – x \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n \\ & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0 } ^ \ infty x ^ n – \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ {n + 1} \\ & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n – \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty x ^ n \\ & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ 0 x ^ n = 1, \ end {split} donc \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n = \ frac {1} {1 – x}. est complètement valide (et même continue) pour | x | , y compris à x = 0, mais nécessite 0 ^ 0 = 1.
- Le théorème binomial (a + b) ^ n = \ textstyle \ sum\_ {k = 0} ^ n \ tbinom nk a ^ {nk} b ^ k tient même lorsque a = 0 ou b = 0, mais nécessite 0 ^ 0 = 1.
- Le règle de puissance \ tfrac {d} {dx} x ^ n = nx ^ {n – 1} (n \ ne 0) vaut même pour n = 1 à x = 0, mais nécessite 0 ^ 0 = 1.
- La réponse de Jack Huizenga donne un autre exemple: le nombre de fonctions f \ colon S \ to T est \ lvert T \ rvert ^ {\ lvert S \ rvert}, mais seulement si 0 ^ 0 = 1.
- Dans le Chiffre déglise encodage des naturels, lexponentiation est juste une application de fonction, et 0 ^ 0 = (\ lambda f. \ lambda x. x) (\ lambda f. \ lambda x. x) = (\ lambda x. x) = 1.
* Le sens dans lequel 0 ^ 0 est une forme indéterminée est plus faible que pour les autres formes indéterminées. Pour les fonctions analytiques complexes f, g avec \ textstyle \ lim\_ {x \ to a} f (x) = \ lim\_ {x \ to a} g (x ) = 0, nous avons toujours \ textstyle \ lim\_ {x \ to a} f (x) ^ {g (x)} = 1, sauf si f est identique à zéro (auquel cas la limite nexiste pas).
Donald Knuth donne fondamentalement la même réponse dans « Deux notes sur la notation » (1992, p. 6), avec un historique:
Cependant, larticle de [Libri] [33] a produit plusieurs ondulations dans les eaux mathématiques lorsquil est apparu à lorigine, car il a suscité une controverse sur la définition de 0 ^ 0. La plupart des mathématiciens étaient daccord pour dire que 0 ^ 0 = 1, mais Cauchy [5, page 70] avait listé 0 ^ 0 avec dautres expressions comme 0/0 et \ infty – \ infty dans un tableau de formes non définies. La justification de Libri pour l’équation 0 ^ 0 = 1 était loin d’être convaincante, et un commentateur qui signait simplement son nom «S» se leva à l’attaque [45]. August Möbius [36] a défendu Libri, en présentant la raison de son ancien professeur de croire que 0 ^ 0 = 1 (fondamentalement une preuve que \ textstyle \ lim\_ {x \ to 0 ^ +} x ^ x = 1). Möbius est également allé plus loin et a présenté une preuve supposée que \ textstyle \ lim\_ {x \ to 0 ^ +} f (x) ^ {g (x)} = 1 chaque fois que \ textstyle \ lim\_ {x \ to 0 ^ +} f ( x) = \ lim\_ {x \ to 0 ^ +} g (x) = 0. Bien sûr, «S» a alors demandé [3] si Möbius connaissait des fonctions telles que f (x) = e ^ {- 1 / x} et g (x) = x. (Et le papier [36] a été discrètement omis des archives historiques lorsque les œuvres rassemblées de Möbius ont finalement été publiées.) Le débat sest arrêté là, apparemment avec la conclusion que 0 ^ 0 ne devrait pas être défini.
Mais non , non, dix mille fois non! Quiconque souhaite que le théorème binomial \ displaystyle (x + y) ^ n = \ sum\_ {k = 0} ^ n \ binom nk x ^ ky ^ {n – k} soit valable pendant au moins un entier non négatif n doit croire que 0 ^ 0 = 1, car nous pouvons brancher x = 0 et y = 1 pour obtenir 1 à gauche et 0 ^ 0 à droite.
Le nombre de mappages entre lensemble vide et lensemble vide est de 0 ^ 0. Il doit être 1.
Dun autre côté, Cauchy avait de bonnes raisons de considérer 0 ^ 0 comme un forme limite , au sens où la valeur limite de f (x) ^ {g (x)} nest pas connue a priori lorsque f (x) et g (x) sapprochent de 0 indépendamment. Dans ce sens beaucoup plus fort, la valeur de 0 ^ 0 est moins définie que, disons, la valeur de 0 + 0. Cauchy et Libri avaient raison, mais Libri et ses défenseurs ne comprenaient pas pourquoi la vérité était de leur côté.