Meilleure réponse
Étant donné le triangle Rt, côtés 18, 24, 30; Trouvez le rayon du cercle inscrit.
Réponse courte; la formule dun rayon de cercle inscrit dans un triangle Rt est
Zone / (1/2 périmètre)
La zone est Hauteur X la moitié de la base; cest-à-dire
18 * 12 = 216
Le périmètre est 18 + 24 + 30 = 72; et divisé par 2
72/2 = 36
Le rayon du cercle est de 216/36 = 6 cm
Réponse longue
Construction:
Bisectez AC, et CA, à lintersection, vérifiez le lieu avec la bissection de BC, Cest ok alors allons-y… ..
Avec une boussole et un crayon, faites un cercle touchant nimporte quel côté, en suivant autour de lui touche les 2 autres côtés.
Intersection détiquettes AD et CE, O.
De là, descendez une perpendiculaire de chaque côté en P, en Q et en R.
Lintersection, O, est équidistante des côtés AB, BC et AC. (Voir III ci-dessous)
I.
Considérez les triangles, BPO et BRO.
Angles BO = BO (Construction).
La ligne BO est commune aux deux triangles.
Angles RO = PO (Angles Rt construits).
Les triangles Ergo BPO et BRO sont congruents.
Il suit cette ligne BP = BR.
Mais nous savons que BR = BC – r.
Donc BP = BC – r; ou 24 – r.
Par le même argument, nous pouvons prouver PA = AC -r: ou 18 – r.
Donc.
BP = 24 – r; PA = 18 – r; et BP + PA = BA.
Combinant les conclusions …… BP + PA = (24 – r) + (18 – r) En remplaçant BA pour BP et PA, et en simplifiant….
Donc, BA = 42 – 2r.
Mais BA = 30 (donné). Remplacer par BA.
30 = 42 – 2r… simplifier…. 2r = 42 – 30.
2r = 12.
Ergo r = 6.
QED.
II.
Rayon trouvé => 6 unités.
Larithmétique semble être,
Somme de tous les côtés, de cette série de triangles, / 12 = rayon de linscription cercle.
18 + 24 + 30 = 72
Radius = 72/12 = 6.
Jespère que cela vous aidera.
Re ; formules dans les autres réponses, merci à chacun. Nouveau pour moi!… Lol. Japprends chaque jour quelque chose de nouveau sur Quora. Mon préféré est area / (0.5 * périmètre) = rayon du cercle inscrit… .216 / 36 = 6…
EDIT 6/26 / 17
III.
Daprès la construction de la figure,
Les triangles BPO et BOR sont congruents, prouvé ci-dessus. APO et AOQ peuvent également être prouvés congruents.
Ergo
Lignes OP = OR et OQ = OP. Puisque OP est égal à OR et OQ, ceux-ci sont égaux lun à lautre, cest-à-dire – OR = OQ. Cest donc une preuve que lintersection de la bissection de ses angles EST le centre de la figure, un triangle rectangle, et équidistante de ses 3 côtés.
QED
Réponse
Merci davoir posé cette belle question, M. Lloyd – non seulement la réponse à votre question est un oui mais il y en a une infinité ) triangles avec les propriétés que vous demandez et, en fin de compte, il est possible de trier certains joliment par les rayons de leurs cercles de telle manière que lesdits rayons suivent ou occultent lensemble des nombres naturels 1, 2, 3, 4 et ainsi de suite.
En dautres termes, en utilisant la discussion à venir comme modèle pour une preuve potentiellement plus formelle, nous allons montrent une manière mécanique de générer un triangle dont les longueurs de tous les côtés sont des nombres entiers et la longueur du rayon dont le cercle est un nombre entier n donné à lavance.
Barre latérale: ces types de questions avoir beaucoup à faire avec la théorie élémentaire des nombres et très peu à voir avec la géométrie.
Une famille de triangles (plans) qui est garantie davoir les propriétés demandées dès le départ sont les soi-disant Triangles de Pythagore – les triangles de droite (pour linstant) dont les longueurs sont des nombres entiers de tous les côtés.
Convenons que les longueurs des côtés dun triangle de Pythagore sont le tout, strictement positifs, les nombres a, b et c tels que:
a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 \ tag {1}
Convenons également que lorsque les trois les entiers a, b, c sont premiers alors le triangle de Pythagore correspondant est appelé primitif et supposons un instant que nous avons réussi à trouver un tel triangle primitif a\_0 , b\_0, c\_0.
Comme la relation dans ( 1 ) na pas dautres termes flottants, il sensuit quen mettant à léchelle tous les nombres formant un Triangle de Pythagore primitif par le même entier strictement positif k:
\ left (ka\_0 \ right) ^ 2 + \ left (kb\_0 \ right) ^ 2 = \ left (kc\_0 \ right) ^ 2 \ tag * {}
nous obtiendrons un nouveau triangle qui sera:
- aussi pythagoricien
- plus primitif (pour k> 1)
- similaire à son Triangle de Pythagore primitif parent a\_0, b\_0, c\_0
- plus grand que son Triangle de Pythagore primitif parent a\_0, b\_0, c\_0
Il suit alors quil existe une infinité de Triangles de Pythagore non primitifs générés par un (unique) Triangle de Pythagore primitif donné. Un Triangle de Pythagore primitif donné est le plus petit de sa famille car la longueur de ses côtés ne peut plus être réduite. Il ny a pas deux triangles de Pythagore primitifs distincts similaires.
Nous observons au passage que normalement nous ne jetons pas les énoncés mathématiques sans rien faire – nous les prouvons juste sur place mais parce que le centre de cette réponse nest pas les preuves de les propriétés ci-dessus, nous les prenons juste pour être vraies sur la foi pour linstant (demandez les preuves pertinentes séparément si cela vous intéresse).
Ainsi, il est traditionnellement de lintérêt initial de récupérer les longueurs des côtés de primitifs Triangles de Pythagore car tous les autres triangles de Pythagore peuvent être générés à partir de leurs homologues primitifs comme expliqué ci-dessus.
À titre d’exercice, nous pouvons montrer que un paramétrage complet des solutions de ( 1 ) est donné par:
a = m ^ 2 – n ^ 2, \; b = 2mn, \; c = m ^ 2 + n ^ 2 \ tag {2}
où m et n sont toutes les paires dentiers premiers de parité opposée avec m> n. Le bit parité opposée signifie que lun de ces nombres, peu importe lequel, doit être impair, tandis que lautre doit être pair.
Encore une fois, si vous êtes intéressé, posez une question distincte sur lorigine de ( 2 ) – nous serons plus quheureux de vous présenter une déduction de ce fait hors bande afin de ne pas polluer la réponse actuelle avec trop dinformations techniques.
Il existe un paramétrage alternatif des solutions de ( 2 ) que nous omettons également ici.
Maintenant, considérons un triangle rectangle arbitraire avec les côtés a et b, lhypoténuse c et linradius r (Fig. 1):
Si nous ajoutons léquation verte à léquation bleue illustrée à la figure 1 et utilisons léquation grise pour x + y, nous trouverons:
c + 2r = a + b \ tag * {}
doù:
r = \ dfrac {a + b – c} {2} \ tag {3}
Supposons maintenant que le droit ci-dessus Le triangle t est un primitif Triangle de Pythagore. Si nous prenons les valeurs de a, b et c de ( 2 ) et les plaçons dans ( 3 ) alors nous aurons:
r = \ dfrac {m ^ 2-n ^ 2 + 2mn – m ^ 2 – n ^ 2} {2} \ tag * {}
Ici, les m ^ 2 sannuleront et les n ^ 2 doubleront:
r = \ dfrac {2mn – 2n ^ 2} {2} \ tag * {}
En prenant en compte 2n à partir du dénominateur ci-dessus, nous arrivons à:
r = \ dfrac {2n (m – n)} {2} \ tag * {}
cest-à-dire que:
r = n (mn) \ tag {4}
qui nous dit que dans tout Triangle de Pythagore primitif la longueur de son rayon est un nombre entier (ne pas oublier la contrainte m> n, voir ( 2 )) car une différence de deux entiers est toujours un entier et un produit de deux entiers est toujours un entier.
Ensuite, considérons tout k-triangle non primitif – cest-à-dire, considérons un triangle de Pythagore dont les longueurs de tous les côtés ont été mis à léchelle uniformément par un entier strictement positif k> 1. Parce que de telles longueurs entrent dans léquation ( 3 ) comme des termes strictement linéaires, pour obtenir la longueur du rayon inradius correspondant, tout ce que nous avons à faire est de multiplier le RHS de ( 4 ) par k:
r\_k = kn (mn) \ tag {5}
Ainsi, dans les deux cas, la longueur du rayon d’influence d’un triangle de Pythagore est toujours un nombre entier car les objets (les nombres) sur le RHS de ( 4 , 5 ) sont toujours – une différence de deux entiers est toujours un entier et un produit de deux entiers est toujours un entier.
Notez que le léquation ( 5 ) peut être lue de droite à gauche . Cela signifie que nous pouvons prendre les entiers k, m, n comme entrée, puis utiliser ( 5 ) pour générer une intégrale dans le rayon comme sortie.
Essayons maintenant daller dans la direction opposée – voyons si nous pouvons passer une commande sur la longueur dun rayon et sur la base de ces informations récupérons les longueurs du triangle de Pythagore correspondant.
Apparemment Pythagore lui-même, il y a de nombreuses années, a réussi à produire une paramétrisation partielle des solutions de ( 1 ) en étudiant les Triangles de Pythagore dont les longueurs des côtés les plus courts forment une suite de nombres naturels impairs consécutifs a = 2n + 1.
Dans ce cas, pour que les nombres pertinents restent entiers la longueur du côté b et la longueur de lhypoténuse c dun mystère Triangle de Pythagore doivent différer dune unité: c = b + 1. Ainsi, de ( 1 ) nous avons:
(2n + 1) ^ 2 + b ^ 2 = (b + 1) ^ 2 \ tag * {}
Ouverture de la parenthèse ci-dessus:
4n ^ 2 + 4n + 1 = b ^ 2 = b ^ 2 + 2b + 1 \ tag * {}
nous voyons que les b ^ 2 et les 1 sannulent:
4n ^ 2 + 4n = 4n ( n + 1) = 2b \ tag * {}
ce qui veut dire que:
b = 2n (n + 1), \; c = b + 1 = 2n (n + 1) + 1 \ tag {6}
Remettre ces valeurs dans ( 3 ) , nous découvrons que:
r = \ dfrac {2n + 1 + 2n ^ 2 + 2n – 2n ^ 2 – 2n – 1} {2} \ tag * {}
r = \ dfrac {2n} {2} = n \ tag {7}
Nest-ce pas sympa?
Donc – la référence de tri.
En dautres termes, si vous nous donnez un nombre naturel arbitraire n> 0 alors nous pourrons générer un triangle de Pythagore qui a exactement les propriétés que vous demandez:
a = 2n + 1, \; b = 2n (n + 1), \; c = 2n (n + 1) + 1, \; r = n \ tag {8}
ce qui signifie que la famille de formules ci-dessus énumère la longueur intégrale du rayon intérieur dun triangle avec les longueurs intégrales de ses côtés via lensemble des nombres naturels \ mathbb {N}.
Cela signifie également que nous pouvons écrire un programme informatique, par exemple dans le langage de programmation C comme support, à lavance qui générera les triangles demandés à la demande:
#include
#include
extern int
main( int argc, char* argv[] )
{
int i;
int n;
int a;
int b;
int c;
for ( i = 1; i
{
n = atoi( argv[ i ] );
a = 2*n + 1;
b = 2*n*(n + 1);
c = b + 1;
}
return 0;
}
En supposant que nous ayons enregistré le code ci-dessus dans le fichier ptr.c, construisez-le comme ceci:
gcc -g - o ptr ptr.c
et exécutez-le comme ceci:
./ptr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1 3 4 5
2 5 12 13
3 7 24 25
4 9 40 41
5 11 60 61
6 13 84 85
7 15 112 113
8 17 144 145
9 19 180 181
10 21 220 221
11 23 264 265
12 25 312 313
13 27 364 365
où, pour un frisson bon marché, nous avons, de façon spectaculaire, inclus lhypoténuse de longueur 365.
Notre programme accepte un tas de nombres naturels de linvite de commande et pour chaque nombre n, il génère un pythagoreTriangle dont la longueur des côtés garantit que la longueur du rayon intérieur de ce triangle est égale au nombre naturel dentrée n.
Le format de notre sortie est: la première colonne indique la valeur du rayon n, la seconde La colonne montre la valeur de a, la troisième colonne montre la valeur de b et la quatrième colonne montre la valeur de c.
De plus, la zone S de nos triangles de Pythagore:
S = \ dfrac {ab} {2} \ tag {9}
est également garanti comme un nombre entier car linsertion des valeurs de a et b de ( 2 ) dans ( 9 ), on trouve:
S = \ dfrac {\ left (m ^ 2 – n ^ 2 \ right) 2mn} {2} = \ left (m ^ 2 – n ^ 2 \ right) mn \ tag * {}
qui est toujours un entier.
Enfin, la situation avec des triangles arbitraires, lus – pas à droite, est plus délicate.
Si nous partitionnons un tel triangle en trois triangles plus petits serrés, sans espaces et sans chevauchements, comme indiqué ci-dessous (Fig.2):
alors, car dans ce cas le tout est égal à la somme de ses parties, pour laire S dun tel triangle nous aurons:
S = \ dfrac {ar} {2} + \ dfrac {br} {2} + \ dfrac {cr} {2} \ tag * {}
cest-à-dire que:
S = r \ cdot p = \ dfrac {rP} {2} \ tag * {}
si on accepte que P est le périmètre complet du triangle et que p est le demi-mètre du triangle.
Il sensuit alors que pour la valeur de linradius r on a:
r = \ dfrac {2S} {P} = \ dfrac {S} {p} \ tag * {}
Ainsi, pour que r soit un entier, alors soit P doit diviser lentier 2S, soit p doit diviser lentier S.
Pour le bien de largument, acceptons de nommer planar non triangles rectangles dont tous les côtés sont des entiers et dont laire est un entier Diophantine .
Maintenant, il existe des triangles diophantiens (composites) tels que:
- ils sont compo sed de deux triangles de Pythagore le long dun côté commun et
- la longueur de leur rayon est pas un entier
Preuve: laire du triangle diophantien composite 5, 5, 6, qui est composé de deux triangles de pythagore 3,4,5 le long du côté b = 4, est 12, tandis que la longueur de son demi-mètre est 8. Mais 8 ne divise pas lentier 12. \ blacksquare
Il existent des triangles diophantiens (composites) tels que:
- ils sont une composition de deux triangles de Pythagore le long dun côté commun et
- la longueur de leur rayon intérieur est un entier
Preuve: laire du 13,14, 15 triangle diophantien composite, qui est composé de deux triangles de Pythagore 5,12,14 et 9,12,15 le long du côté b = 12, est égal à 84, tandis que son demi-mètre est égal à 42. Mais 42 divise lentier 84 : 42 \ cdot 2 = 84. \ blacksquare
Il existe des triangles diophantiens (non composites?) Tels que:
- ils ne peuvent pas être composés de deux triangles de Pythagore mais
- la longueur de leur rayon dentrée est un entier
Preuve: laire du triangle 65.119.180 est égale à 1638, tandis que son demi-diamètre est 182. Mais 182 divise lentier 1638: 182 \ cdot 9 = 1638.
Dans un triangle rectangle candidat avec les côtés a et b, deux fois laire 2S est égale au produit de a et b, voir ( 9 ): 2S = a \ cdot b. Par conséquent, les nombres a et b doivent diviser 2S.
Est-ce le cas avec notre triangle?
Non.
Aucune des longueurs des côtés de notre triangle divise la grandeur égale à 1638 \ cdot 2.
Voici pourquoi: la factorisation première de 1638 \ cdot 2 est égale à 2 ^ 2 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 7 \ cdot 13:
1638 \ cdot 2 = 2 ^ 2 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 7 \ cdot 13 \ tag * {}
Les factorisations premières des longueurs des côtés de notre triangle sont :
65 = 5 \ cdot 13 \ tag * {}
119 = 7 \ cdot 17 \ tag * {}
180 = 2 ^ 2 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 5 \ tag * {}
Par conséquent, la longueur daucune hauteur de notre triangle peut être exprimée comme un nombre entier (naturel) et, par conséquent, un tel triangle diophantien ne peut pas être composé de deux triangles de Pythagore le long dun côté commun qui doivent jouer le rôle de la hauteur du triangle cible. \ blacksquare
Nous voyons que pour faire une déclaration globale sur la longueur de linradius dun triangle diophantien, nous devons entreprendre une analyse plus minutieuse de la situation et, selon toute vraisemblance, regarder triangles rationnels .
Jespère que je nai pas rendu notre discussion trop compliquée mais cest ce quelle est – la théorie élémentaire des nombres surtout.