Meilleure réponse
Intuitivement, un dénominateur de 3 implique que le nombre soit «divisé» en trois parties égales. 27 divisé par 3 fait 9. Autrement dit, chacun des 3 groupes est égal à 9.
2/3 indique que sur les 3 groupes de 9, seuls 2 des 3 groupes sont préoccupants. Par conséquent, 2/3 est 9 + 9 = 18.
Le 2/3 de 27 est 18.
Réponse
John K Williamsson a donné une bonne réponse: pour ce quil a appelé la «somme sale» de \ frac {1} {2} et \ frac {8} {9} (le terme mathématique pour cela est mediant ):
\ frac {1} {2} frac {1 + 8} {2 + 9} frac {8} {9}
Il suggère de utiliser lalgèbre pour prouver l inégalité médiane : si a, b, c, d sont des nombres positifs et
\ frac {a} {b } frac {c} {d}
puis
\ frac {a} {b} frac {a + c} {b + d} frac { c} {d}.
Je souhaite ajouter quau niveau primaire, linégalité médiante na pas besoin dune preuve algébrique, elle va de soi.
En effet considérez les fractions \ frac {1} {2} et \ frac {8} {9} comme des descriptions de situations réelles:
\ frac {1} {2}: 2 enfants ont 1 sac de fruits .
\ frac {8} {9}: 9 enfants ont 8 sacs de fruits.
Ils se rassemblent et partagent à parts égales: 1 + 8 sacs de fruits entre 2 + 9 = 11 enfants, cest-à-dire ils forment le médiant:
\ frac {1 + 8} {2 + 9}
Dans ce partage, quel groupe denfants perd et lequel gagne? Bien sûr 2 enfants avec 1 sac gagnent: ils ont \ frac {1} {2} sacs par tête, lautre groupe vient avec une plus grande part par tête: \ frac {8} {9}. Pour la même raison, les enfants du deuxième groupe perdent.
Jutilise un exemple avec des enfants et des sacs de bonbons dans mes conférences; ici, jai remplacé les bonbons par des fruits plus politiquement corrects – peut-être que je dois aller plus loin et utiliser des légumes verts à la place des fruits. Lidée originale appartenait au grand Israel Gelfand, et était énoncée dans un langage plus coloré:
Vous pouvez expliquer les mathématiques à tout le monde, même aux ivrognes. Si vous demandez à certaines personnes qui boivent de la vodka sur un banc de parc, quest-ce qui est plus gros, \ frac {2} {3} ou \ frac {3 } {4} , ils répondront par des jurons. Mais si vous leur demandez ce qui est mieux, 2 bouteilles de vodka pour 3 personnes ou 3 bouteilles de vodka pour 4 personnes, elles vous donneront instantanément la bonne réponse: sur bien sûr, 3 bouteilles pour 4 personnes.
Et cette conclusion instantanée provient dun argument qui est le renversement de la preuve informelle de linégalité médiante: comment passer de la situation «2 bouteilles pour 3 personnes» à la situation «3 bouteilles pour 4 personnes»? Bien sûr, cela signifie quun quatrième homme vient et apporte avec lui une bouteille entière – pouvez-vous imaginer, une bouteille entière de vodka! Dans linégalité médiante,
\ frac {2} {3} frac {2 + 1} {3 + 1} frac {1} {1},
ou
\ frac {2} {3} frac {3} {4} .
Jai vu des articles qui confirment quil sagit dun modèle typique darithmétique penser, comme le font des gens «normaux» dans des situations de la vie réelle (par exemple, jai vu une affirmation selon laquelle les infirmières des hôpitaux lutilisent pour comparer les doses de médicaments, laquelle est la plus grande et laquelle est la plus petite).