Meilleure réponse
À Abhinav Rk: vous avez posé cette question il y a près de trois ans, alors peut-être que vous ne sont plus intéressés par une réponse. Cependant, jestime que votre question a été mal comprise dans dautres tentatives dy répondre. Je pense que vous demandez la formule mathématique qui est codée dans Excel par la fonction PMT, quand il y a une valeur future FV non nulle . En recherchant votre question, je nai pas pu trouver un seul exemple où un tel calcul a été fait, encore moins une discussion sur les mathématiques sous-jacentes. Voici ma tentative de comprendre le problème, avec lavertissement que je ne connais que les présentations les plus simples possibles des mathématiques financières, en mappuyant pour lessentiel sur le chapitre 8 du manuel de premier cycle « Penser mathématiquement », par Robert Blitzer, 7e édition, Pearson, 2019. Je ne suis en aucun cas un expert en mathématiques financières.
Supposons que nous commencions par la formule de calcul du paiement périodique ( dépôt) sur un compte de rente requis pour obtenir une rente A. Ceci est donné par
\ begin {equation} PMT \, = \, \ dfrac {A \, \ left (\ dfrac {r} { n} \ right)} {\ left [\ left (1+ \ dfrac {r} {n} \ right) ^ {nt} – 1 \ right]}. \ tag {1} \ end {équation}
où r est le taux dintérêt exprimé sous forme décimale, n est le nombre de paiements par an (par exemple, n = 12 si les mensualités / dépôts sont en cours effectué), et t est le nombre dannées pour lesquelles le paiement est effectué. Pour référence, le produit n \ fois t est égal à la variable «Nper» utilisée dans Excel.
Si un montant PV est emprunté sur un prêt, alors la valeur future du prêt dans ces conditions est donnée par la formule de lintérêt composé:
\ begin {equation} FV\_0 \, = \, PV \, \ left (1+ \ dfrac {r} {n} \ right) ^ {nt}. \ tag {2} \ end {equation}
En général, vous voudriez rembourser le prêt avec un paiement juste égal au dépôt qui serait nécessaire pour obtenir une annuité égale à cette valeur future, A = FV\_0, auquel cas la valeur future du prêt serait réduite à FV\_0 = 0 (je distingue cette valeur future par un indice 0, ce qui semble probablement peu familier, mais je pense que cette notation rend les mathématiques plus compréhensibles).
Si, cependant, vous souhaitez effectuer un paiement qui laisse une partie impayée du prêt, cest-à-dire une valeur future FV non nulle du prêt, vous devez alors configurer les paiements sur une rente A qui réduit la valeur future à FV = FV\_0 – A. En résolvant ceci pour A, la valeur de la rente à substituer dans léquation (1) est alors A = FV\_0 – FV, et le paiement est effectué par
\ begin {equation} PMT \, = \, \ dfrac {(FV\_0 – FV) \, \ left (\ dfrac {r} { n} \ right)} {\ left [\ left (1+ \ dfrac {r} {n} \ right) ^ {nt} – 1 \ right]}. \ tag {3} \ end {equation}
En remplaçant FV\_0 de léquation (1), cela peut sécrire
\ begin {equation} PMT \, = \, \ dfrac {(PV \ times C \, – \, FV) \, \ left (\ dfrac {r} {n} \ right)} {C – 1}, \ tag {4} \ end {équation}
où
\ begin {équation} C \, = \, \ left (1+ \ dfrac {r} {n} \ right) ^ {nt} \ tag {5} \ end {équation}
est le facteur de composition.
Dans la réponse dAbhinav Rk, un exemple de problème est donné avec la valeur principale PV = 30000, r = 6,5 \\% = 0,065, t = 5 ans, et FV = -9000. Il continue, se référant au paiement requis pour cet exemple, en demandant « Comment puis-je calculer cela manuellement »? Excel lui donne la valeur \ 459 $ comme solution.
Pour son exemple, je trouve pour le facteur de composition (notez que pour utiliser la formule que jai dérivée, la valeur future doit être prise positive: FV = 9000):
\ begin {equation} C \, = \ , \ left (1+ \ dfrac {0.065} {12} \ right) ^ {12 \ times 5} = 1.382817, \ tag * {} \ end {equation}
et quand ceci est remplacé par équation (4) jobtiens
\ begin {equation} PM T \, = \, \ dfrac {(30000 \ fois 1,382817 – 9000) \, \ left (\ dfrac {0,064} {12} \ right)} {0,382817} = \ $ 459,64, \ tag * {} \ end {équation }
en bon accord avec ce quil a obtenu en utilisant Excel.
En supposant que jai développé correctement les équations, jespère que cela pourra vous être utile ou aider dautres intéressés par la même question.
Réponse
De laide officielle dExcel 2016:
Fonction PMT – Support Office
Syntaxe
PMT (rate, nper, pv, [fv], [type])
Remarque: Pour une description plus complète des arguments dans PMT, consultez la fonction PV.
La syntaxe de la fonction PMT a la arguments suivants:
- Taux Obligatoire. Le taux dintérêt du prêt.
- Nper Obligatoire. Nombre total de paiements pour le prêt.
- Pv Obligatoire.La valeur actuelle, ou le montant total quune série de paiements futurs vaut maintenant; également appelé principal.
- Fv Facultatif. La valeur future ou le solde de trésorerie que vous souhaitez atteindre après le dernier paiement. Si fv est omis, il est supposé être 0 (zéro), cest-à-dire que la valeur future dun prêt est 0.
- Type Facultatif. Le chiffre 0 (zéro) ou 1 et indique la date déchéance des paiements.
- Définir le type égal à:
- 0 ou omis Si les paiements sont dus À la fin de la période
- 1 Si les paiements sont dus Au début de la période
Mathématiquement, cela peut être implémenté comme suit:
pmt = Rate * (Fv * -1 + Pv * (1 + Taux) ^ Nper)) / ((1 + Taux * Type) * (1- (1 + Taux) ^ Nper)
Faire assurez-vous que les unités de Nper et de taux sont cohérentes et que les entrées / sorties de trésorerie appropriées sont comptabilisées.
Voici léquation la plus simple (sans le Fv et le Type) https://en.wikipedia.org/wiki/Equated\_monthly\_installment
PMT = (Pv * Rate * (1+ Rate) ^ Nper) / [(1 + Taux) ^ Nper – 1]