Meilleure réponse
Les nombres rationnels sont relativement simples. Ils sont une paire ordonnée dentiers (m, n) avec n \ neq0 sous la relation déquivalence:
\ quad (a, b) \ equiv (c, d) \ Leftrightarrow ad = bc
Quoi? Cétait censé être simple? Hé bien oui. Tout ce gobbledygook déquivalence était juste pour sassurer quune moitié était la moitié que ce soit (1,2) ou (2,4) ou même (-33, -66). Et tout cela me semblerait plus familier si jécrivais cela comme \ frac12 = \ frac24 plutôt que (1,2) \ equiv (2,4) car 1 \ times4 = 2 \ times2. Mais, à proprement parler, cest par là que commence une définition rigoureuse des nombres rationnels.
Maintenant que les choses faciles sont traitées, quest-ce quun nombre réel? Malgré leur nom et leur ubiquité, les nombres réels sont plutôt bêtes compliquées. La construction la plus simple qui correspond à notre intuition est peut-être celle de coupes Dedekind . Une coupe Dedekind des nombres rationnels, \ Q, est une partition en deux ensembles non vides (A, B) tels que A \ cup B = \ Q, chaque élément de A est strictement inférieur à chaque élément de B, et A na pas de plus grand élément. Je sais, votre tête tourne déjà, mais le idée est très simple: nous coupons simplement la droite numérique à un moment donné – tous les rationnels à gauche sont dans A, et tous les rationnels à droite (ou à le point) sont dans B. Si B a un moindre élément, notre coupe était à un nombre rationnel. Si B na pas un moindre élément, notre coupe était à un Nombre irrationnel. Ce qui suit représente s le Dedekind coupé pour la racine carrée de deux (un nombre irrationnel):
(Source: Fichier: Dedekind racine carrée coupée de deux.png – Wikipédia )
Dans les deux cas, la coupe (A, B) représente un nombre réel. Puisque B = \ Q \ setminus A, nous pouvons représenter un nombre réel par A lui-même: un ensemble non vide de nombres rationnels qui est fermé en dessous et qui na pas de plus grand élément. Dans un certain sens, les nombres réels irrationnels comblent les « lacunes » dans les nombres rationnels.
Un problème avec cette intuition des « lacunes » est que les nombres rationnels sont denses dans les réels – entre deux nombres réels distincts il y a un rationnel (en fait une infinité de rationnels). Ceci pourrait vous faire penser quil y a au moins autant de nombres rationnels que de nombres irrationnels. Mais non, la cardinalité de lensemble des nombres irrationnels est strictement supérieure à celle de lensemble des nombres rationnels. Dune manière ou dune autre, le nombre réel « à la fin » de lensemble A des nombres rationnels est rejoint par une foule dautres nombres réels que je ne peux pas tout à fait décrire par rapport à lensemble A. Comme je lai dit, les nombres réels sont des bêtes compliquées: la plupart d’entre eux ne peuvent même pas être décrits malgré leur supposée « réalité ».
Je faisant allusion à une différence fondamentale entre les nombres rationnels et réels des nombres qui nécessitent vraiment un diplôme en mathématiques pour bien les comprendre, mais jespère que vous avez au moins une idée de la différence sinon une appréciation complète des subtilités.
Réponse
Les nombres réels sont des nombres entre les nombres rationnels . Que signifie vraiment cette affirmation?
Considérez la racine carrée de 2. On peut montrer quelle nest pas rationnelle. Mais nous pouvons découvrir quelle est sa valeur, à nimporte quel degré de précision, en identifiant tous les rationnels qui sont inférieurs à lui, et tous les rationnels supérieurs à lui. Cest entre deux ensembles de nombres rationnels.
Cest vrai pour nimporte quel nombre réel, à moins que ce ne soit également rationnel. Pour tout nombre réel, il existe un ensemble de nombres rationnels qui lui sont tous inférieurs ou égaux, et un autre ensemble de rationnels qui lui sont tous supérieurs ou égaux, et chaque rationnel est dans lun ou lautre de ces deux ensembles . Ce type de partition des rationnels est la clé pour construire les nombres réels à partir des rationnels au moyen de coupes de Dedekind.
Considérons deux ensembles de nombres rationnels, L (inférieur) et H (supérieur), tels que chaque nombre dans H est plus élevé que chaque nombre dans L, et les deux ensembles ensemble incluent chaque nombre rationnel. Nous savons que de tels ensembles L et H existent pour chaque nombre réel que nous pouvons calculer algébriquement, mais ce ne sont pas les seuls ensembles de ce type.
En général, L pourrait avoir un nombre le plus élevé, Lmax, ou H peut avoir un nombre Hmin le plus bas. Dans ces cas, Lmax ou Hmin serait la borne supérieure de L et la borne inférieure de H, et ce serait rationnel. Si ni Lmax ni Hmin nexistent – et nous savons quils ne le seront pas si nous avons créé les ensembles à partir dun nombre irrationnel connu – nous définissons la borne supérieure de L (qui est également la borne inférieure de H) comme un nombre réel.
En fait, chaque fois que nous approchons un nombre irrationnel par une fraction décimale, nous créons une telle partition. Par exemple, si nous disons quun nombre irrationnel est 1,2345…, ce que nous disons, cest quil est supérieur à 1,2345 mais inférieur à 1.2346, et au fur et à mesure que nous écrivons plus de nombres dans le développement décimal, nous ajoutons plus de nombres aux ensembles auxquels il est supérieur et inférieur.
En utilisant ces expansions décimales, nous pouvons déduire une différence importante entre les nombres rationnels et le nombres réels. Les nombres rationnels sont dénombrables ; autrement dit, ils peuvent être placés en correspondance un à un avec les entiers. Les nombres réels ne sont pas dénombrables.
Quelle est la différence entre les nombres réels et rationnels?