Meilleure réponse
Tout dabord, \ sqrt {x} \ stackrel {\ text {def}} {=} x ^ {\ frac12}.
Maintenant, je vais représenter la fonction racine carrée par sa série de Taylor. Je vais calculer cette série de Taylor à environ 16, juste pour être à labri de tout rayon de convergence ennuyeux. Ensuite, je vais approximer \ sqrt {20} en définissant x = 20 dans la série.
La définition de la série de Taylor de toute fonction anylitic f \ left (x \ right) est la suivante:
f \ left (x \ right) = \ displaystyle \ sum\_ {n = 0} ^ {\ infty} f ^ {\ left (n \ right)} \ left (a \ right) \ frac { \ left (xa \ right) ^ n} {n!}
Ici, f ^ {\ left (n \ right)} désigne la nième dérivée de f. Nous devrons calculer beaucoup de dérivés et nous espérons quil y aura un modèle assez facilement perceptible.
f \ left (x \ right) désignera ci-après \ sqrt {x}.
Le dérivé «zéro» de f est simplement f. Jaurai f \ left (16 \ right) comme coefficient du premier terme de la série. (Noubliez pas que jai décidé de centrer la série Taylor autour de 16 . La racine carrée de 16 est assez simple – cest juste 4 . Quatre quatre font 16.)
f \ left (x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 0} {0!} + \ cdots
Daccord. Les choses vont devenir un peu difficiles. Nous devons maintenant calculer la dérivée de \ sqrt {x}.
La règle de puissance dit que \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} x ^ n = nx ^ { n-1}. Dans ce cas, n = \ frac {1} {2} (étant donné que \ sqrt {x} = x ^ {\ frac {1} {2}}).
Par conséquent, \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ sqrt {x} = \ frac {1} {2} x ^ {- \ frac {1} {2}} = \ frac {1} {2 \ sqrt {X}}. Le coefficient suivant de la série est donc \ frac {1} {2 \ sqrt {16}} ou simplement \ frac {1} {8}.
Le prochain terme de la série Taylor sera donc f « \ left (16 \ right) \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} {1!} ou simplement \ frac {1} {8} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} {1!}.
Voici la somme partielle jusquà présent:
f \ left (x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ) ^ 0} {0!} + \ Frac {1} {8} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} {1!} + \ Cdots
OK. Maintenant, nous devons calculer la deuxième dérivée de f \ left (x \ right), ou simplement calculer la dérivée de \ frac {1} {2 \ sqrt {x }}.
Cela nécessitera lutilisation de la règle de chaîne car nous avons une fonction composée dans une autre. Une fonction sera ci-après désignée par g \ left (x \ right) = \ frac {1} { x}, et lautre sera désigné par la suite par h \ left (x \ right) = 2 \ sqrt {x}. La fonction dont nous voulons trouver le dérivé est: f « \ left (x \ right) = \ frac {1} {2 \ sqrt {x}}. En dautres termes, nous voulons trouver le dérivé de g \ left (h \ left (x \ right) \ right).
La règle de chaîne dit que \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} g \ left (h \ left (x \ right) \ right) = g « \ left (h \ left (x \ right) \ right) h » \ left (x \ right).
Le dérivé de g \ left (x \ right) est – \ frac {1} {x ^ 2} (par la règle de puissance). Le dérivé de h \ left (x \ right) est \ frac {1} {\ sqrt {x}} (selon la règle de puissance et la propriété qui implique \ left (cf \ left (x \ right) \ right) » = cf « \ left (x \ right)).
Nous avons maintenant ce \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ frac {1} {2 \ sqrt { x}} = – \ frac {1} {4 \ left (\ sqrt {x} \ right) ^ 3}. Le troisième coefficient de la série est donc – \ frac {-1} {4 \ left (\ sqrt {16} \ right) ^ 3} (ou plus simplement – \ frac {1} {256}).
Le troisième terme de la série est: – \ frac {1} {256} \ frac {(x-16) ^ 3} {3!}
La somme partielle complète jusquà présent:
f \ left (x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 0} {0!} + \ frac {1} {8} \ frac {\ left ( x-16 \ right) ^ 1} {1!} – \ frac {1} {256} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 2} {2!} + \ cdots
Je vais maintenant calculer la quatrième dérivée de f \ left (x \ right).
\ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ frac {-1 } {4 \ left (\ sqrt {x} \ right) ^ 3} = \ frac {3} {8x ^ 2 \ sqrt {x}}
Le quatrième terme de la séquence sera \ frac {3} {8192} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 3} {3!}
La somme comprend maintenant quatre termes:
f \ left ( x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 0} {0!} + \ frac {1} {8} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} { 1!} – \ frac {1} {256} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 2} {2!} + \ Frac {3} {8192} \ frac {\ left (x-16 \ droite) ^ 3} {3!} + \ cdots
Si nous continuons avec ce modèle, alors nous obtiendrons le modèle de coefficients suivant:
\ frac {1} {0,25 }, \ frac {1} {8 }, – \ frac {1} {256}, \ frac {3} {8192}, – \ frac {15} {262144}, \ cdots
Il est maintenant temps de trouver un modèle et dexprimer le séquence avec une formule explicite.
Le nième dénominateur peut être représenté par b\_n = \ left (2 ^ {n + 2} \ right) \ left (16 ^ {n-1} \ right) ce qui simplifie à b\_n = 2 ^ {5n-2} (avec la valeur initiale de n égale à 0). Cétait facile. Quen est-il des numérateurs?
Voici la série de numérateurs (en ignorant laltération des signes, qui sera traitée plus tard):
1,1,1,3,15,105,945, \ cdots
…
Hmm…
…
Le modèle des numérateurs est assez simple. Prenez 945 et divisez-le par 105. Vous obtenez 9. Ensuite, prenez 105 et divisez cela par 15. Vous obtenez 7. En continuant: 15 divisé par 3 est 5, 3 divisé par 1 est 3 et 1 divisé par 1 est 1. Des produits de nombres impairs sont ici impliqués.
Le terme \ gauche (n + 2 \ droit) dans la suite des numérateurs (hors alternance) est donc:
t\_n = \ displaystyle \ prod\_ {k = 1} ^ {n} \ left (2k + 1 \ right)
La formule des numérateurs est sous forme de notation pi. Ce serait mieux sil est exprimé en utilisant la notation factorielle dune manière ou dune autre.
Si nous divisons le produit des 2n + 2 premiers entiers par le produit des entiers pairs de 2 à 2n, alors nous obtiendrons le produit des nombres entiers impairs de 1 à 2n + 1. En dautres termes,
t\_n = \ displaystyle \ prod\_ {k = 1} ^ {n} \ left (2k + 1 \ right) = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {\ prod\_ {k = 1} ^ {n + 1} 2k}
Nous pouvons maintenant supprimer la notation pi et la remplacer par une expression plus petite et plus élégante. Comme vous pouvez le voir, le 2 du terme est multiplié par lui-même n + 1 fois. Ainsi, nous pouvons retirer le 2, le placer devant le capital pi, puis élever le 2 à la puissance n + 1. Cela nous laisse avec:
t\_n = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {n + 1} \ prod\_ {k = 1} ^ {n + 1} k }
Léquation ci-dessus peut être écrite plus simplement comme suit:
t\_n = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {n + 1} \ left (n + 1 \ right)!}
Vous avez peut-être déjà remarqué que la série donnée par lexpression directement ci-dessus est décalée de deux termes. Pour résoudre ce problème, tout ce que nous avons à faire est de trouver tous les n dans la formule du dénominateur et de les ajouter par 2. Nous devrons également faire de même avec le reste des termes avec des puissances de x.
La formule du dénominateur est finalement 2 ^ {5n + 8}.
Depuis que nous avons décalé la série, nous devons encore inclure celles qui ont été exclues, quelque part dans lexpression. Il y aura dautres termes qui apparaissent avant la notation sigma dans lexpression. Ces termes sont 4 et \ frac {1} {8} \ left (x-16 \ right).
Le coefficient de chaque terme de la série sera:
c\_n = \ frac {\ frac {\ gauche (2n + 2 \ droite)!} {2 ^ {n + 1} \ gauche (n + 1 \ droite)!}} {2 ^ {5n + 8}}
qui se résume à:
c\_n = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {6n + 9} \ left (n + 1 \ right)!}
Cest la formule du nième coefficient de la série (ceci exclut les deux premiers termes car ces termes provoqueraient des erreurs dans la formule pour t\_n).
Nous pouvons maintenant commencer à écrire la notation sigma (rappelez-vous, nous avons déplacé la série pour supprimer les termes impertinents, il y aura donc des choses au début de la notation sigma).
f \ left (x \ right) = 4 + \ frac {1} {8} \ left (x-16 \ right)
– \ frac {1} {256} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 2} {2 !} + \ frac {3} {8192} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 3} {3!} – \ cdots
Cest une série alternée commençant par un négatif, nous devrons donc multiplier les termes par la (n + 1) ème puissance de -1.
f \ left (x \ right) = 4 + \ frac {1} {8} \ left ( x-16 \ right) + \ displaystyle \ sum\_ {n = 0} ^ {\ in fty} \ frac {\ left (-1 \ right) ^ {n + 1} \ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {6n + 9} \ left (n + 1 \ right)!} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ {n + 2}} {\ left (n + 2 \ right)!}
Nettoyé:
f \ left (x \ right) = \ sqrt {x} = 2 + \ frac {x} {8} + \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ {n + 1} \ gauche (-1 \ droite) ^ n \ gauche (2n \ droite)!} {2 ^ {6n + 3} n! \ gauche (n + 1 \ droite)!}
HA!
Nous avons maintenant la série Taylor pour cette fonction dite de «racine carrée», qui nest certainement pas une chose sur les calculatrices. Maintenant, il ne reste plus quà approcher la racine carrée de vingt en utilisant la série taylor que nous venons de comprendre.
f \ left (20 \ right) = 2 + \ frac {20} {8 } + \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ left (20-16 \ right) ^ {n + 1} \ left (-1 \ right) ^ n \ left (2n \ right) )!} {2 ^ {6n + 3} n! \ Left (n + 1 \ right)!}
Simplifié:
f \ left (20 \ right) = \ sqrt {20} = 4.5 + \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ left (-1 \ right) ^ n \ left (2n \ right)!} {2 ^ {4n + 1 } \ left (n + 1 \ right) \ left (n! \ right) ^ 2}
Jai tapé lexpression ci-dessus dans Desmos et remplacé \ infty par 15. Desmos a évalué la somme. Donc, la racine carrée de vingt est approximativement 4,472135955.
Jai approfondi cette réponse car elle serait autrement assez ennuyeuse.
Tous ceux qui peuvent utiliser Internet ont accès même au le plus scientifique des calculatrices. La fonction racine carrée est toujours disponible pour vous 24/7/365. Grâce à cela, je vais vérifier ma réponse.
4.472135955 \ stackrel {?} {=} 4.472135955 \ approx \ sqrt {20}
4.472135955 \ stackrel {\ checkmark} {=} 4.472135955 \ approx \ sqrt {20}
Merci davoir lu.
Réponse
Eh bien, essayons sans calculatrice .
Trouvez le nombre dont le carré est un peu moins de 20, il est 4.
Trouvez-en un dont le carré est juste au-dessus de 20 , cest 5.
Donc, 4 qrt (20)
Une fois que cela est identifié, calculez la moyenne de ces deux nombres qui est 4,5
AM ≥ GM et GM = √4 * 5 = √20.
Nous avons donc √20 .5
Donc, 4 qrt (20) .5
Calculez 4,5 carrés… 4 * 5 + .25 = 20,25…
Cest juste un peu élevé…
Donc, la réponse devrait être autour de 4,5 mais pas près de 4 .
Maintenant, essayons de le trouver plus correctement
Prenons f (x) = sqrt (x)
f « (x) = o.5 / sqrt (x)
Maintenant, f (20.25) = 4.5, f (20) =?
Prenons ∆x = -0.25
f (x + ∆x) = f (x) + ∆x * f « (x)
(La série de Taylor tronquée au premier ordre ou vous pouvez appeler Newton Méthode Raphson)
Maintenant, en remplaçant x et ∆x, nous avons,
f (20) = 4,5 -0,25 * 0,5 (1 / 4,5)
= 4,5 – (1/4) (1/9) = 4,5 – .1111 / 4
= 4,5 -10 ^ (- 4) [(1000 + 100 + 10 + 1) / 4]
= 4,5 – 10 ^ – (4) [250 + 25 + 2,5 + 0,25]
= 4,5 -0,027775
= 4,472225
Par conséquent, sqrt (20) ~ 4.472225
Et cest ce que google a proposé comme réponse.
Donc, notre réponse nest pas si mal !!