Meilleure réponse
Quelle est la taille du nombre de Rayo par rapport au nombre de Graham? Cest plus gros. Beaucoup plus grand. Il a été conçu pour être.
Le nombre de Graham est énorme. Il est tellement plus grand que les grands nombres ordinaires comme un Googolplex que comprendre à quel point il est plus grand peut être assez déchirant. Cependant, dans le domaine des nombres énormes, le nombre de Graham nest pas exceptionnel. Il existe des ensembles entiers de nombres qui ont été conçus qui sont aussi incroyablement plus grands que le nombre de Graham que le nombre de Graham est lui-même grand. Le nombre de Graham na pas été conçu, rappelez-vous, pour être particulièrement grand; en fait, il est apparu dans une tentative de trouver un plus petite borne supérieure dun problème mathématique (et des bornes supérieures beaucoup plus petites ont depuis été trouvées pour ce problème!). La seule chose qui était spéciale à propos du nombre de Graham était que, à lépoque , cétait le plus grand nombre à avoir été utilisé dans une démonstration ou une dérivation mathématique significative.
Autres nombres qui laissent le nombre de Graham loin derrière ont depuis été dérivés ou utilisés dans des preuves significatives. Un exemple est TREE (3) , mais il y en a aussi beaucoup dautres.
Le nombre de Rayo est un peu différent de tous ceux-ci. Vous voyez, le nombre de Rayo a été spécialement conçu pour être un nombre monstrueusement énorme. Il est, pratiquement par définition, plus grand que nimporte lequel de ces autres nombres que nous Cest tellement plus énorme que nimporte lequel dentre eux que nous ne savons même pas exactement quelle est sa taille: mais nous connaissons beaucoup de nombres effroyablement énormes dont nous savons quil doit être plus grand que!
De toute évidence, même le nombre de Rayo nest en aucun cas «le plus grand nombre». Il ny a rien de tel. Nous pouvons toujours en ajouter un à nimporte quel nombre et en obtenir un légèrement plus grand. Nous pouvons élever nimporte quel nombre à sa propre puissance et obtenir un un peu plus grand. Mais le nombre de Rayo est actuellement considéré comme le plus grand nombre fini auquel on a pris la peine de donner un nom (à lexclusion des extensions triviales, comme Rayos-Number-plus-one et autres).
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Numéro de Rayo i est beaucoup plus grand.
Je vais expliquer quel est le nombre de Rayo, puis nous comprendrons pourquoi il est beaucoup plus grand que le nombre de Graham.
Il y a ce vieux paradoxe qui ressemble à ceci: Soit N défini comme «le plus petit entier positif non définissable dans au plus douze mots anglais».
On pourrait se demander, quest-ce que N?
Eh bien, quel que soit N, cest clairement définissable dans au plus douze mots anglais, à savoir les mots «Le plus petit entier positif non définissable dans au plus douze mots anglais». Mais c’est une contradiction, car par définition, N n’est pas définissable par douze mots anglais.
Paradoxe! SpoooOoOoOky!
La résolution de ce paradoxe, au-delà du simple fait que «langlais» est vague en général, est que «définissable» est particulièrement mal défini. Si les nombres définissables dépendent du mot «définissable» dont la signification dépend des nombres définissables, vous vous retrouvez avec une définition circulaire qui ne peut pas être résolue.
Pourquoi ai-je évoqué ce paradoxe?
Le numéro de Rayo peut être vu comme une «formalisation» de ce qui précède; il utilise un langage mathématique plutôt que langlais, et il précise la notion de «définissabilité». Le nombre de Rayo est
« Le plus petit entier positif plus grand que tout entier positif fini nommé par une expression dans la langue du premier ensemble dordre théorie avec un symbole googol ou moins. «
Théorie des ensembles du premier ordre – ici, signifiant » logique du premier ordre sur le domaine de l univers de Von Neumann , qui est un modèle de Théorie des ensembles de Zermelo – Fraenkel « – est un langage mathématique précis. Ce le langage formel a la propriété de ne pas pouvoir encoder circulairement cette même phrase et créer un paradoxe. (Vous pouvez décrire les axiomes de ZFC dans la logique du premier ordre, et même décrire un mécanisme pour évaluer les preuves, etc., mais vous ne peut pas créer un univers Von Neumann en lui-même.)
Alors, pourquoi est-ce plus grand que le nombre de Graham?
Eh bien, le nombre de Graham nest pas très difficile à définir, vous pouvez lisez la définition sur Wikipedia et cest tout à fait élémentaire, en termes de up arr ow notation qui est définie par lexponentiation. Vous pouvez certainement encoder le numéro de Graham en utilisant au maximum, disons, 10 000 symboles. Je suis conservateur ici. Et le nombre de Graham est loin du plus grand nombre définissable dans 10 000 symboles. Mais le nombre de Rayo est plus grand que tout nombre définissable avec googol = 10 ^ {100} symboles. Cest monstrueusement plus grand que le chiffre de Graham! En fait, la théorie des ensembles du premier ordre est capable de parler des machines de Turing, donc le nombre de Rayo est bien plus grand même que, disons, BusyBeaver (quel que soit le grand nombre auquel vous pensez).