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Réponse
La chose fondamentale sur décimal est quil est juste un des de nombreuses formes utilisées pour représenter des nombres. Cest une forme tellement courante, cependant, que beaucoup (sans faute de leur part) en viennent à associer le nombre à la forme elle-même. Et si deux nombres ont deux formes différentes, alors ils doivent être des nombres différents, non?
Mais quen est-il des deux nombres suivants:
\ displaystyle {\ qquad \ frac {41217896017} {82435792034} \ quad \ text {et} \ quad \ frac {1} {2}?}
Représentations assez différentes, mais en effectuant et en effectuant les calculs / annulations nécessaires, vous me croirez presque certainement que ces deux formes représentent le même nombre .
Pourquoi?
Parce que lorsquon nous enseigne les fractions, on nous apprend très tôt que deux fractions peuvent être le même nombre, et quelles sont dans forme réduite si le numérateur et le dénominateur nont pas de facteurs communs supérieurs à 1.
Et nous nous en tenons à cela.
Nous en sommes convaincus par lexpérience et répétition de cette expérience, et nous pouvons utiliser différentes formes pour vérifier cette expérience.
Pas tellement avec les «décimales», encore moins avec dautres positions
La chose intéressante à propos des représentations décimales des nombres est que pour la plupart des nombres (dans un certain sens technique) la forme décimale est en effet unique (mais dans la plupart de ces cas – dans le même sens – il est impossible décrire dans tous les détails, disons-le ainsi).
Il y a cependant quelques exceptions. Par «peu», je veux dire que par rapport à lensemble du «lot» de nombres qui peuvent en principe (sinon en pratique) être écrits en décimal.Les exceptions sont les nombres qui sont rationnels, et leurs dénominateurs (sous forme réduite) ont uniquement des puissances de 2 et / ou des puissances de 5.
Loutil dont vous avez besoin pour le comprendre est lessence dune série géométrique convergente.
Une série géométrique convergente (infinie) est une série de la forme
\ displaystyle {\ qquad a + a \ times r + a \ times r ^ 2 + \ ldots + a \ times r ^ n + \ ldots.}
Quand la série se termine après un certain nombre fini de termes avec la puissance N la plus élevée, cest assez facile de confirmer que la série sadditionne à
\ displaystyle {\ qquad S\_N = a \ sum\_ {k = 0} ^ N r ^ k = \ frac {a (1-r ^ N)} { 1-r},}
et nous demandons ce que signifie avoir une somme infinie. La définition conventionnelle est que les termes deviennent plus petits assez rapidement pour que la valeur totale approche une limite finie lorsque N devient arbitrairement grand. Létude de cette idée nous conduit à une condition, qui est que le rapport commun r doit être compris entre (mais pas non plus) -1 et 1. Ou, | r | , équivalent à -1 .
La formule devient alors
\ displaystyle {\ qquad S = \ frac {a} {1-r},}
comme terme r ^ N \ to0.
Maintenant, rappelez-vous comment la notation décimale est définie: en réalité, ce nest quun raccourci pour une série de la forme
\ displaystyle {\ qquad \ begin {align *} & a\_ka\_ {k-1} \ ldots a\_1a\_0.b\_1b\_2 \ ldots b\_n \ ldots \\ & \ qquad = a\_k \ times10 ^ k + a\_ {k-1} \ times10 ^ {k-1} + \ ldots + a\_1 \ times10 + a\_0 \\ & \ qquad \ qquad + \ frac {b\_1} {10} + \ frac {b\_2} {10 ^ 2} + \ ldots + \ frac {b\_n} {10 ^ n} + \ ldots, \ end {align *}}
où k est la puissance non nulle la plus élevée de dix qui est inférieure au nombre, et a\_i, b\_j sont les chiffres décimaux (entiers de zéro à neuf).
Le nombre 9.999 \ ldots = 9. \ dot9 est un nombre de cette forme, où k = 0, et a\_0 = 9 = b\_j pour tous les entiers positifs j. Heureusement, cela nous donne précisément la forme dune série géométrique! (Notez que chaque nombre sous forme décimale où les chiffres sont différents de 9 à droite est délimité ci-dessus par une série comme celle-ci.)
Nous pouvons simplement brancher les choses: le premier terme est a = 9 , et le rapport commun est r = \ frac {1} {10} . Nous savons donc tout de suite que cette série converge!
Nous obtenons
\ displaystyle {\ qquad S = \ frac {9} {1- \ frac {1} {10}} = \ frac {90} {10-1} = \ frac {90} {9} = 10.}
Très chouette.
Il y a bien sûr dautres trucs que vous peut utiliser pour prouver que 9. \ dot9 = 10 (en décimal, de toute façon…), mais la meilleure chose (dans mon esprit) est de comprendre quelque chose sur ce que signifie la notation et comment elle fonctionne – et ensuite il est facile de comprendre avec le fait que même en notation positionnelle, tous les nombres ne sont pas représentés dune seule manière.
En général, si nous avons une base b valide, le nombre représenté dans cette base positionnelle sous la forme 0. (b -1) (b-1) (b-1) \ ldots est toujours égal à 1. Ainsi en binaire (par exemple), où 0,1 = \ frac {1} {2}, on a 0,111 \ ldots = \ frac { 1} {2} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {8} + \ ldots = 1. La “méthode” série infinie fonctionne de la même manière pour prouver ce résultat.