Meilleure réponse
Il existe de nombreuses bonnes réponses écrites pour vous aider à visualiser ce que signifie cette question afin datteindre intuitivement un réponse de 3. Et rien de ce que jécris ici na pour but denlever quoi que ce soit à la valeur de ces réponses. Ils aident les nouveaux élèves à réfléchir au lien entre les mathématiques et la modélisation de manière concrète, et cest une compétence ÉNORME.
Cela dit, les mathématiques ne sont pas de la modélisation. Une autre façon de penser ce problème est donc dun point de vue purement mathématique. Et si vous développez cette compétence, vous vous frayerez un chemin pour être en mesure de gérer des types de mathématiques plus abstraits qui mettent souvent fin à la carrière en mathématiques des étudiants qui sappuient exclusivement sur une approche plus intuitive et plus centrée sur le modèle.
Vous avez demandé «Quest-ce que 3/4 divisé par 1/4?»
Juste au milieu de votre question, vous avez utilisé le terme «divisé par». Pour un mathématicien, cest un indice pour rechercher immédiatement la DÉFINITION de la division. Les définitions sont les briques sur lesquelles les mathématiques sont construites.
Une définition de la division (dans ce contexte) est:
Étant donné deux nombres, a et b (avec b \ ne 0), a divisé par b est c si c fois b est égal à a.
Je sais maintenant ce que signifie «divisé par». Pouvons-nous appliquer cette définition à votre problème? Eh bien, vous demandez environ 3/4 divisé par 1/4. On dirait que vous avez deux nombres (dont le second n’est pas zéro) et que vous voulez connaître le résultat du premier divisé par le second. Il semblerait donc que cette définition soit exactement ce dont vous avez besoin.
Alors maintenant, le jeu commence. La réponse au problème sera nimporte quel nombre, c, tel que \ frac 14 \ times c = \ frac 34.
Voici la bonne nouvelle. Nous savons maintenant comment vérifier si une réponse est ou non la bonne. Nous multiplions simplement 1/4 par la réponse candidate et si le résultat est 3/4, la réponse candidate est correcte.
La mauvaise nouvelle est que si la réponse candidate nest PAS correcte, nous ne sommes pas plus proches de trouver la bonne réponse. En d’autres termes, la définition ne nous aide pas à TROUVER la bonne réponse. Cela nous aide seulement à vérifier si la réponse dun candidat est correcte.
Alors, que pouvons-nous faire? Les essais et erreurs semblent toujours être une mauvaise idée. Il semble quil soit maintenant temps dinventer une règle qui nous donnera toujours la bonne réponse.
Je propose cette règle. Étant donné deux nombres a et b \ ne 0, a divisé par b doit toujours être égal à a fois la réciproque de b (souvent noté \ frac 1b).
Avant de pouvoir utiliser cette règle, bien sûr, nous devons nous assurer que cela fonctionne toujours. C’est ce que nous appelons une preuve. La preuve ici est facile puisque la règle me donne une solution candidate et la définition me dit exactement comment vérifier une solution candidate.
Est-il vrai que a \ times \ frac 1b = a divisé par b? Eh bien, la définition dit que la réponse sera c si c fois b égale a. Alors pouvons-nous multiplier notre candidat, a \ times \ frac 1b par b pour obtenir a? Puisque la multiplication est commutative, nous le pouvons clairement. Et la règle est prouvée. (Nous venons de prouver notre premier théorème sur la division. Si les définitions sont à la base des mathématiques, les théorèmes et les preuves sont le mortier qui les maintient ensemble et leur permet dêtre utilisés pour construire de grandes structures.)
Donc, il Il semblerait que la réponse à notre problème est que 3/4 divisé par 1/4 doit être égal au produit de 3/4 et linverse de 1/4. Génial! Non?
Eh bien, nous avons maintenant changé notre problème de division en deux problèmes. Lun est un problème de multiplication. Lautre est «Comment puis-je trouver linverse de 1/4?».
Je suppose que vous savez comment multiplier les nombres, nous navons donc quune question sur la recherche de réciproques. Vraiment, ce nest quun autre problème de division. Vraiment, je vous demande maintenant de trouver 1 divisé par 1/4. Cela ne semble pas être une victoire au début car je suis de retour à la division. Mais je prétends que cest une victoire parce que nous sommes passés de la nécessité de diviser TOUT a par b à maintenant simplement de trouver 1 divisé par b pour tout b non nul. Et la bonne nouvelle est qu’il est FACILE d’apprendre à deviner la bonne réciproque. Et une fois que vous lavez deviné, vous pouvez le vérifier car cest exactement ce que la définition vous dit comment faire.
La réciproque de 1/4 est 4. Nous pouvons vérifier que puisque la réciproque signifie 1 divisé par 1 / 4, et la définition dit que 4 est la réponse tant que 4 multiplié par 1/4 donne 1. Et en effet cest vrai.
Donc finalement, nous avons appris que 3/4 divisé par 1 / 4 est égal à 3/4 fois 4. Et comme je sais multiplier (par exemple en additionnant 4 exemplaires du nombre 3/4), je conclus que la réponse est 3. Et si je fais vraiment attention, je revenez en arrière et vérifiez le résultat en utilisant la définition juste pour être sûr que je nai fait aucune erreur. Alors 1/4 multiplié par 3 est-il égal à 3/4? En effet, cest le cas, donc 3 a maintenant été vérifié comme étant la bonne solution.
Maintenant, cette réponse semble VRAIMENT longue et compliquée – en particulier pour un novice en mathématiques. Je comprends ça.En effet, vous obtiendrez la réponse beaucoup plus rapidement avec une calculatrice ou Google ou en utilisant certaines techniques (que vous navez pas prouvées) que la plupart dentre nous apprennent tôt à lécole. Mais ce n’est pas du tout la question.
Ce que nous avons vraiment appris n’est pas la réponse à CE problème. Ce que nous avons vraiment appris, cest que la division de NIMPORTE QUEL DEUX nombres nous oblige à savoir comment faire deux choses. Tout dabord, nous devons savoir comment diviser UN par nimporte quel nombre (non nul) pour obtenir une réciproque. Et deuxièmement, nous devons savoir comment multiplier deux nombres quelconques. Et cette vérité est bien plus intéressante et profonde que de connaître la réponse à cette question. Pardonnez la métaphore surutilisée, mais elle apprend à un homme à pêcher plutôt que de lui donner un poisson.
Et le vrai pouvoir est que cela place la division dans un contexte qui lui permet de pouvoir être généralisée. Et les généralisations de la division de deux nombres conduisent à des idées importantes. Et cest vraiment ça les maths!
Réponse
Michael Lamar explique très bien dans sa réponse pourquoi comprendre la notion abstraite de division est mathématiquement plus important que la réponse spécifique à \ frac34 \ div \ frac14, donc je vais plonger directement dans la généralisation:
Quest-ce que \ frac {n} {m} \ div \ frac {p} {q}?
In a Champ chaque élément non nul a a un inverse multiplicatif unique a « tel que
\ quad a \ times a » = a » \ times a = 1 lidentité multiplicative.
La division est définie en termes de multiplication:
\ quad b \ div a \ equiv b \ times a «
Linverse multiplicatif dune fraction est donné en inversant la fraction car:
\ quad \ frac {p} {q} \ times \ frac {q} {p} = \ frac {p \ fois q} {q \ fois p} = 1 donc \ left (\ frac {p} {q} \ right) « = \ frac {q} {p} (sauf pour p = 0).
Par conséquent, notre division est donnée par:
\ quad \ frac {n} {m} \ div \ frac {p} {q} = \ frac {n} {m} \ times \ frac {q} {p} = \ frac {n \ time s q} {m \ times p}
Pour un mathématicien en herbe, cela répond à la question, au moins dans le contexte dun champ. Le vrai mathématicien (pur) voudra alors voir comment il peut généraliser davantage.
Dautres seront plus intéressés à obtenir la réponse spécifique à la question originale en instanciant n = 3, m = 4, p = 1, q = 4 pour obtenir:
\ quad \ displaystyle \ frac34 \ div \ frac14 = \ frac {3 \ times4} {4 \ times1} = \ frac {12} {4}
Toujours pas tout à fait 3 mais vous pouvez y arriver avec un peu plus dabstraction: un exercice que je laisserai au lecteur intéressé.
Incidemment, pour ce mathématicien en herbe, vous voudrez peut-être vérifier que dans le champ fini \ mathbb F\_5 nous avons:
\ quad \ frac34 \ div \ frac14 = \ frac12 car \ frac34 \ equiv2, \ frac14 \ equiv4 et \ frac12 \ equiv3