Meilleure réponse
Dun point de vue probabiliste théorique, un champ aléatoire est une famille de variables aléatoires indexées par une variété.
Laissez-moi vous expliquer:
Un processus stochastique est une famille de variables aléatoires \ {X (t) \} \_ {t \ in T}, où pour chaque t, X (t) est une variable aléatoire, et t varie dans lensemble T appelé ensemble dindices. Théoriquement, la définition ne met aucune restriction sur lensemble dindices T, il peut sagir de nimporte quel ensemble. Cependant, quand nous disons processus stochastique, 99\% du temps, nous pensons en fait t comme le temps, par conséquent, T doit être la ligne réelle ou lensemble des entiers ou une partie dentre eux.
Quand cest pas le cas, le plus souvent, lorsque T est en fait un espace euclidien de dimension supérieure ou une partie de celui-ci, ou quelque chose comme ça (une «variété»), alors \ {X (t) \} \_ {t \ in T} est appelé un champ aléatoire. Lidée est que puisque lindice nest plus unidimensionnel, nous ne pouvons pas le penser comme du temps, donc nous le pensons comme un espace. En conséquence, nous n’obtenons pas de «processus», nous obtenons un «champ». Ainsi, nous obtenons une surface aléatoire, ou une fonction multivariée aléatoire.
Réponse
Une variable aléatoire est définie comme un mesurable function
X: \ Omega \ mapsto \ R
Où \ Omega est un Espace de probabilité – Wikipédia .
Ne vous inquiétez pas tant de la partie «mesurable», le point principal que je veux souligner ici est que, en Mathématiques et Physiques notamment, il existe une sorte d’équivalence entre les fonctions et les variables .
Par exemple, une forme couramment utilisée de la règle de chaîne de Calcul dit:
\ frac {dy} {dx} = \ frac {dy} {du} \ frac { du} {dx}
mais cela na de sens que si y est implicitement une fonction de u et u est implicitement une fonction de x. De plus, sur le côté gauche, y représente en fait (et implicitement) la fonction composite y = y (u (x)).
Vous voyez aussi ce genre de notation fonction-comme-variable tout le temps dans les équations différentielles. Par exemple, quand quelquun écrit une équation différentielle comme
y « = y
cest simplement compris que y est une fonction sur un domaine non spécifié ie y = y (x), et que y « représente la fonction \ frac {dy} {dx}, et le = signe signifie égalité des fonctions. Cest « beaucoup de configuration intégrée dans cette notation!
Je le mentionne parce que les variables aléatoires fonctionnent exactement Nous écrivons X, mais ce symbole fait référence à une fonction X (\ omega). Une variable aléatoire est une fonction dont le domaine est un espace de probabilité. Lespace de probabilité nest presque jamais explicite dans la notation, mais il doit être défini dans son contexte.
Quant à savoir pourquoi il est appelé «aléatoire», cest juste le mot que nous utilisons pour les choses qui dépendent dun espace de probabilité. Si je dis « compter 1 pour les têtes, -1 pour les queues », jai « défini à la fois un espace de probabilité \ Omega = \ {têtes, queues \} (vraisemblablement avec le distribution uniforme), et une variable aléatoire X (têtes) = 1, X (queues) = – 1. Le symbole X ne désigne pas un nombre réel, mais plutôt une fonction avec un domaine «aléatoire», où «aléatoire» peut être défini vaguement comme «ayant une distribution connue des résultats».