Meilleure réponse
Le terme «ensemble de points» na pas de définition mathématique standard, pour autant que je sache. Lexpression «Soit X un ensemble de points» na pas de sens. Dans la « topologie à points », lexpression « ensemble de points » est un adjectif modifiant « topologie », par opposition à « topologie algébrique » ou « topologie différentielle ».
- La topologie ponctuelle étudie les espaces topologiques potentiellement pathologiques dun point de vue essentiellement théorique des ensembles.
- La topologie algébrique utilise lalgèbre homologique pour analyser de beaux espaces continus convenablement.
- La topologie différentielle utilise le calcul pour étudier les espaces lisses.
Le modificateur « point-set » de topologie indique donc que vous travaillez potentiellement dans un contexte où vos espaces sont ne se prête pas à létude via des méthodes continues ou différentiables.
Réponse
Une ligne peut être considérée comme constituée de points, mais je ne suis pas sûr que ce soit la meilleure façon d’y penser. Et je suis sûr que vous devriez éviter de dire quune ligne est « composée de » points, car aucun nest plus fondamental que lautre.
En géométrie axiomatique, les lignes et les points sont des entités fondamentales distinctes. Deux lignes se croisent en un point et il existe un ordre strict de points distincts sur une ligne donnée. Une caractéristique intéressante de la géométrie projective est la symétrie entre les points et les lignes: il existe une dualité formelle entre eux. Cette déclaration sur la rencontre de deux lignes en un point équivaut formellement à son double – deux points définissent une ligne. Dans la vue double, un point est « composé de » lignes.
Quant à la cardinalité des points sur une ligne: cela dépend des constructions que vous autorisez. Avec la règle et la boussole non marquées traditionnelles, il ny a quun dénombrable nombre de points que nous pouvons atteindre sur une ligne. En autorisant des limites de séquences de points en général, nous pouvons atteindre nimporte quel point sur la droite numérique réelle, qui a la cardinalité indénombrable du continuum. Mais il ny a pas de raison particulière de sarrêter là: nous pouvons construire, par exemple, la droite numérique surréaliste où des points distincts peuvent être infiniment proches et il y en a indéniablement beaucoup (au-delà dindénombrables!).