Meilleure réponse
1×1
Explication: Supposons , La 1ère matrice est de taille a * b et la 2ème matrice est de taille c * d (a & c correspondent à la ligne et b & d correspondent à la colonne).
La multiplication matricielle entre les deux matrices ne sera possible que si b = c et la matrice résultante aura la taille a * d.
Ici a = 1, b = 2, c = 2, d = 1. comme b = c, nous pouvons multiplier alors et la matrice résultante aura la taille a * d (1 * 1)
Réponse
La matrice arbitraire deux par deux est
A = \ pmatrix {a & b \\ c & d}
Il peut avoir un inverse multiplicatif A ^ {- 1} avec la propriété AA ^ {- 1} = A ^ {- 1} A = I, la matrice didentité, I = \ pmatrix {1 & 0 \\ 0 & 1}.
Trouvons linverse, A ^ {- 1} = \ pmatrix {x & y \\ z & w}
AA ^ {- 1} = \ pmatrix {a & b \\ c & d} \ pmatrix {x & y \\ z & w} = \ pmatrix {ax + bz & ay + bw \\ cx + dz & cy + dw} = \ pmatrix {1 & 0 \\ 0 & 1}
Nous avons deux systèmes linéaires séparables deux par deux,
ax + bz = 1, \ quad cx + dz = 0, \ qquad ay + bw = 0, \ quad cy + dw = 1
Faisons le premier, en résolvant x et z.
adx + bdz = d, \ quad bcx + bdz = 0
(ad-bc) x = d
x = \ dfrac {d} {ad-bc}
acx + bcz = c, \ quad acx + adz = 0
z = \ dfrac {-c} {ad-bc}
Depuis lautre système nous obtenons
ady + bdw = 0, bcy + bdw = b
y = \ dfrac {-b} {ad-bc}
et de même
z = \ dfrac {a} {ad-bc}
Tout rassembler heu on voit
A ^ {- 1} = \ dfrac {1} {ad-bc} \ pmatrix {d & -b \\ -c & a}
La quantité | A | = \ det (A) = ad-bc est appelé le déterminant . Il est non nul précisément lorsque la matrice a un inverse. Le déterminant est multiplicatif – le déterminant du produit de deux matrices carrées est le produit de leurs déterminants.
La matrice \ pmatrix {d & -b \\ -c & a} est appelée adjugate noté \ textrm {adj} (A).
Vérifions que A \ textrm {adj} (A) = \ det (A) \; I, la matrice qui est entièrement nulle sauf pour le déterminant dans les diagonales.
A \ textrm {adj} (A) = \ pmatrix {a & b \\ c & d} \ pmatrix {d & -b \ \ -c & a} = \ pmatrix {ad -bc & -ab + ba \\ cd -dc & -cb + da} \\ \ qquad = \ pmatrix {ad -bc & 0 \\ 0 & ad-bc} = \ det ( UNE) \; I \ quad \ checkmark
La réponse à la question est, si le dénominateur nest pas nul,
A ^ {- 1} = \ dfrac {1} {ad-bc } \ pmatrix {d & -b \\ -c & a}
est la matrice que nous multiplions par
A = \ pmatrix {a & b \\ c & d}
pour obtenir lidentité.