Si vous multipliez une matrice 1×2 par une matrice 2×1, quelles sont les dimensions de la matrice résultante?


Meilleure réponse

1×1

Explication: Supposons , La 1ère matrice est de taille a * b et la 2ème matrice est de taille c * d (a & c correspondent à la ligne et b & d correspondent à la colonne).

La multiplication matricielle entre les deux matrices ne sera possible que si b = c et la matrice résultante aura la taille a * d.

Ici a = 1, b = 2, c = 2, d = 1. comme b = c, nous pouvons multiplier alors et la matrice résultante aura la taille a * d (1 * 1)

Réponse

La matrice arbitraire deux par deux est

A = \ pmatrix {a & b \\ c & d}

Il peut avoir un inverse multiplicatif A ^ {- 1} avec la propriété AA ^ {- 1} = A ^ {- 1} A = I, la matrice didentité, I = \ pmatrix {1 & 0 \\ 0 & 1}.

Trouvons linverse, A ^ {- 1} = \ pmatrix {x & y \\ z & w}

AA ^ {- 1} = \ pmatrix {a & b \\ c & d} \ pmatrix {x & y \\ z & w} = \ pmatrix {ax + bz & ay + bw \\ cx + dz & cy + dw} = \ pmatrix {1 & 0 \\ 0 & 1}

Nous avons deux systèmes linéaires séparables deux par deux,

ax + bz = 1, \ quad cx + dz = 0, \ qquad ay + bw = 0, \ quad cy + dw = 1

Faisons le premier, en résolvant x et z.

adx + bdz = d, \ quad bcx + bdz = 0

(ad-bc) x = d

x = \ dfrac {d} {ad-bc}

acx + bcz = c, \ quad acx + adz = 0

z = \ dfrac {-c} {ad-bc}

Depuis lautre système nous obtenons

ady + bdw = 0, bcy + bdw = b

y = \ dfrac {-b} {ad-bc}

et de même

z = \ dfrac {a} {ad-bc}

Tout rassembler heu on voit

A ^ {- 1} = \ dfrac {1} {ad-bc} \ pmatrix {d & -b \\ -c & a}

La quantité | A | = \ det (A) = ad-bc est appelé le déterminant . Il est non nul précisément lorsque la matrice a un inverse. Le déterminant est multiplicatif – le déterminant du produit de deux matrices carrées est le produit de leurs déterminants.

La matrice \ pmatrix {d & -b \\ -c & a} est appelée adjugate noté \ textrm {adj} (A).

Vérifions que A \ textrm {adj} (A) = \ det (A) \; I, la matrice qui est entièrement nulle sauf pour le déterminant dans les diagonales.

A \ textrm {adj} (A) = \ pmatrix {a & b \\ c & d} \ pmatrix {d & -b \ \ -c & a} = \ pmatrix {ad -bc & -ab + ba \\ cd -dc & -cb + da} \\ \ qquad = \ pmatrix {ad -bc & 0 \\ 0 & ad-bc} = \ det ( UNE) \; I \ quad \ checkmark

La réponse à la question est, si le dénominateur nest pas nul,

A ^ {- 1} = \ dfrac {1} {ad-bc } \ pmatrix {d & -b \\ -c & a}

est la matrice que nous multiplions par

A = \ pmatrix {a & b \\ c & d}

pour obtenir lidentité.

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