Meilleure réponse
Un pentagone régulier ne fait pas de pavage.
Pour quun polygone régulier soit pavé dun sommet à lautre, lintérieur langle de votre polygone doit se diviser uniformément sur 360 degrés. Étant donné que 108 ne divise pas 360 uniformément, le pentagone régulier ne fonctionne pas de cette façon.
Essayer de placer lun des sommets sur une arête quelque part plutôt que sur le sommet ne fonctionne pas pour des raisons similaires, les angles Cela ne correspond pas.
Il y a, cependant, beaucoup de pentagones qui font des pavés, comme lexemple ci-dessous, qui tuiles de sommet à sommet. Vous pouvez voir que les angles de tous les polygones autour dun seul sommet font la somme de 360 degrés.
La vérification de la condition dangle est ce nest pas la seule condition requise pour voir si les polygones sont pavés, mais cest très facile à vérifier.
Réponse
Seuls trois polygones réguliers sont pavés: triangles équilatéraux, carrés et hexagones réguliers.
Aucun autre polygone régulier ne peut être pavé à cause des angles des coins des polygones. Afin de pavé un plan, un nombre entier de faces doit pouvoir se rencontrer en un point. Pour les polygones réguliers, cela signifie que langle des coins du polygone doit diviser 360 degrés. De plus, pour tous les polygones convexes, la somme des angles extérieurs doit être égale à 360 degrés, et pour les polygones réguliers, cela signifie que les angles extérieurs doivent être égaux et totaliser 360 degrés. Cela signifie que langle intérieur dun n-gon régulier est 180 ^ \ circ – \ frac {360 ^ \ circ} / n. Le nombre de n-gons réguliers que vous pouvez placer autour dun coin est donc \ frac {360 ^ \ circ} {180 ^ circ- \ frac {360 ^ circ} {n}} = \ frac {360 ^ \ circ n} { 180 ^ \ circ n – 360 ^ circ} = \ frac {n} {\ frac {1} {2} n-1} = \ frac {2n} {n-2}, et nest possible que sil sagit dun entier .
Les triangles équilatéraux ont 3 côtés, vous pouvez donc ajuster \ frac {2 (3)} {3–2} = \ frac {6} {1} = 6 triangles équilatéraux autour dun point. La tessellation nest pas exclue.
Les carrés ont 4 côtés, vous pouvez donc ajuster \ frac {2 (4)} {4–2} = 8/2 = 4 carrés autour dun point. La tessellation nest pas exclue
Les pentagones ont 5 côtés, vous pouvez donc ajuster \ frac {2 (5)} {5–2} = 10/3 pentagones autour dun point. Ce nest pas un entier, donc la tessellation est impossible.
Les hexagones ont 6 côtés, donc vous pouvez ajuster \ frac {2 (6)} {6–2} = 12/4 = 3 hexagones. La tessellation nest pas exclue.
Mais plus de côtés que cela? Eh bien, ce n’est pas possible. Notez que \ frac {2 (n + 1)} {(n + 1) -2} = \ frac {2n + 2} {n-1} frac {2n} {n-2}, et que 2 < \ frac {2n} {n-2}, donc pour n> 6, vous avez 2 frac {2n} {n-2} frac {2 (6)} {6–2} = 3, donc pour heptagones réguliers, octogones, nonagones, etc., vous ne pouvez pas placer un nombre entier dentre eux autour dun point.
Cela ne veut pas dire quil ny a pas de pentagones, heptagones, octogones, etc. pas des pentagones réguliers, des heptagones réguliers ou des octogones réguliers, etc.