Meilleure réponse
Oui.
Il se trouve à lextérieur du triangle.
H est lorthocentre de \ Delta ABC.
Notez également que \ bar {AH} \ bot \ bar {BC}; \ bar {BH} \ bot \ bar {CA}; \ bar {CH} \ bot \ bar {AB}
Réponse
Comment trouvez-vous le circumcenter et lorthocentre dun triangle à angle obtus situé à lextérieur du triangle?
Une façon de déterminer le circumcenter et lorthocentre dun triangle, obtus ou non, est en utilisant des vecteurs et des matrices.
Intro:
Cest un peu impliqué, donc il ny aura pas nimporte quel espace pour montrer les calculs.
Disons que nous avons un triangle avec les sommets A, B et C et que les longueurs de leurs côtés opposés sont respectivement a, b et c.
Nous définissons trois vecteurs: \ vec {u} = \ left (BA \ right), \ vec {v} = \ left (CA \ right), et \ vec {w} = \ vec {u } – \ vec {v} = \ left (BC \ right).
Maintenant, sin les vecteurs ce sont des matrices, nous pouvons utiliser un format matriciel où un T après un vecteur signifie quil est transposé. Donc \ vec {u} ^ {T} \ vec {u} = c ^ {2}, \ vec {v} ^ {T} \ vec {v} = b ^ {2}, et \ vec {w} ^ {T} \ vec {w} = a ^ {2}. Ce sont en fait des produits ponctuels.
Pour éviter toute confusion, jutiliserai également la notation \ vec {u} ^ {T} \ vec {u} = u ^ {2}, \ vec {v } ^ {T} \ vec {v} = v ^ {2}, et \ vec {w} ^ {T} \ vec {w} = w ^ {2}. Donc, u \ equiv c, v \ equiv b , et w \ equiv a. Jutiliserai aussi un chapeau pour représenter un vecteur unitaire, qui est juste un vecteur qui a été divisé par sa propre longueur et a donc une longueur de 1. Par exemple, \ frac {\ vec {u} ^ {T} \ vec {v}} {uv} \ equiv \ hat {u} ^ {T} \ hat {v}.
Matrice de transformation:
Nous définissons maintenant une matrice de transformation. Si vous travaillez en 2 dimensions, ce sera une matrice 2×2 et si vous travaillez en 3 dimensions ce sera une matrice 3×3. Notez que \ theta\_ {A} est langle entre \ vec {u} et \ vec {v}, qui est langle au sommet A.
\ quad R = \ frac {v ^ {2} \ vec {u} \ vec {u} ^ {T} -u ^ {2} \ vec {v} \ vec {v} ^ {T}} {u ^ {2} v ^ {2} – \ left ( \ vec {u} ^ {T} \ vec {v} \ right) ^ {2}} = \ frac {\ hat {u} \ hat {u} ^ {T} – \ vec {v} \ vec {v } ^ {T}} {1- \ left (\ hat {u} ^ {T} \ hat {v} \ right) ^ {2}} = \ frac {\ hat {u} \ hat {u} ^ { T} – \ hat {v} \ hat {v} ^ {T}} {\ sin ^ {2} \ theta\_ { A}}
Nous utilisons la matrice de transformation pour définir un autre vecteur.
\ quad \ vec {r} = \ frac {v ^ {2} \ left (\ vec {u } ^ {T} \ vec {w} \ right) \ vec {u} -u ^ {2} \ left (\ vec {v} ^ {T} \ vec {w} \ right) \ vec {v}} {u ^ {2} v ^ {2} – \ left (\ vec {u} ^ {T} \ vec {v} \ right) ^ {2}} = R \ vec {w}
Formules:
Soit H lorthocentre, qui est le point où les trois altitudes dun triangle se croisent. Une altitude part de chaque sommet sur une ligne perpendiculaire à sa jambe opposée.
Soit Q le circumcenter, qui est le point dintersection des médiatrices perpendiculaires des trois côtés dun triangle. Cest le centre du cercle circulaire, qui est un cercle qui comprend les trois sommets dun triangle.
Maintenant, avec un peu de travail, on peut maintenant en déduire que
\ quad \ begin {array} {l} H = \ vec {A} + \ left (\ vec {u} + \ vec {v} \ right) – \ vec {r} \\ Q = \ vec {A} + \ frac {1} {2} \ vec {r} \ end {array}.
En utilisant les sommets du triangle mentionné comme vecteurs, nous pouvons les convertir en formules symétriques.
\ begin {array} {l} H = \ left (\ vec {A} + \ vec {B} + \ vec {C} \ right) – \ frac {a ^ {2} \ left (-a ^ {2 } + b ^ {2} + c ^ {2} \ right) \ vec {A} + b ^ {2} \ left (a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2} \ right) \ vec {B} + c ^ {2} \ gauche (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} \ droite) \ vec {C}} {\ gauche (a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2} \ right) – \ frac {1} {2} \ left (a ^ {4} + b ^ { 4} + c ^ {4} \ droite)} \\ Q = \ vec {A} + \ dfrac {1} {2} \ frac {a ^ {2} \ gauche (-a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} \ right) \ vec {A} + b ^ {2} \ left (a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2} \ right) \ vec {B } + c ^ {2} \ gauche (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} \ droite) \ vec {C}} {\ gauche (a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2} \ droite) – \ frac {1} {2} \ gauche (a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4} \ right)} \ end {array}
Notez quaucune racine carrée et aucune trigonométrie ne sont Vous devez trouver les deux centres.