Meilleure réponse
Une fois, jai enseigné les mathématiques à des élèves du collège dans une école privée exclusive. Javais un étudiant qui était arrogant et qui mennuyait constamment, moi et les autres étudiants. Ladministration na pas soutenu mes tentatives de le discipliner. Jai trouvé cette solution:
Je lui ai dit que sil pouvait trouver un modèle aux nombres premiers, afin quil puisse prédire le prochain, il pourrait gagner beaucoup dargent et être célèbre. Il a aimé ce défi et a commencé à sy consacrer. Il avait des pages et des pages de calculs et ne ma plus jamais dérangé. De temps en temps, je montrais un peu dintérêt pour son travail et il disait quelque chose comme: « Je pense que je suis sur quelque chose … »
Je savais quil ne trouverait rien, parce que je savais quil ny a pas de modèle aux nombres premiers. Il peut y avoir des zones locales où il semble quil y ait un modèle, mais il ny a pas de modèle global ni de formule pour prédire le nombre premier SUIVANT sans TEST.
Pensez-y de cette façon. Vous êtes un homme paléolithique qui comprend que 2, 3, 5, 7, 11 et 13 sont primordiaux. Vous vous demandez quel sera le prochain prime. Il ny a aucun moyen de le trouver sans quelques tests. Vous pouvez tester 14. Non. 15, non. 16, non. 17, Bingo.
Il vous suffit de tester les facteurs jusquà et y compris la racine carrée du nombre (dans le cas de 17: 2, 3 et 4) car le nombre suivant sera trop grand, mais vous devez tester. Ce test prend un LONG TEMPS en termes de calcul. Cest la base actuelle de la cryptographie. Si nous pouvions prédire le prochain prime, tous nos mots de passe seraient nus.
Les mathématiciens semblent détester admettre quil y a ce CHAOS au milieu des nombres, mais il y en a, et je le trouve charmant.
Comment savoir quil ny a pas de motif?
Motif: (définition du dictionnaire) • un arrangement ou une séquence que lon trouve RÉGULIÈREMENT dans des objets ou des événements comparables. • une forme ou séquence RÉGULIÈRE et intelligible discernable dans certaines actions ou situations.
Donc, un MODÈLE implique RÉGULARITÉ ou RÉPÉTITION. LA RÉPÉTITION implique la MULTIPLICATION parce que la MULTIPLICATION est une ADDITION RÉPÉTITIVE. La multiplication implique des FACTEURS, et nous ne pouvons pas avoir de facteurs sil est premier.
Calculer: (définition) déterminer (le montant ou le nombre de quelque chose) mathématiquement. Nous ne déterminons pas si un nombre est MATHÉMATIQUEMENT premier. Nous le faisons EXPERIMENTALEMENT.
Je pense que les nombres premiers n’ont pas de MOTIF mais semblent avoir certaines TENDANCES. Ils ont tendance à devenir plus rares à mesure que les quantités augmentent, mais soudainement… vous en voyez deux ensemble. Ceux-ci sont appelés nombres premiers jumeaux. Exemples: (41, 43), (137, 139). Personne ne sait si les nombres premiers jumeaux, comme les nombres premiers, sont infinis. Cela n’a pas été prouvé.
Wikipédia: «La plus grande paire principale de jumeaux actuellement connue est 2996863034895 · 2 ^ 1290000 ± 1 avec 388 342 chiffres décimaux. Il a été découvert en septembre 2016. » Twin prime – Wikipédia
Comme pour les nombres premiers eux-mêmes, il ny a aucun moyen de prédire quand ces nombres premiers jumeaux arriveront le long de. (Il PEUT être possible de prouver sils finissent un jour. Essayez-le.)
Certaines personnes pensent quil y a des «modèles» dans la spirale dUlam. Spirale dUlam – Wikipédia
CEPENDANT, si vous téléchargez la figure et la faites exploser, vous verrez des lignes droites émerger puis DISPARUER. Les nombres premiers sont infinis. Donc, bien sûr, statistiquement (dans notre système ARBITRAIRE Base 10), des lignes droites apparaissent parfois, comme lorsque vous lancez des pièces, vous obtiendrez parfois une grande série de têtes.
(De plus, la spirale Ulam utilise des carrés. Je pense quune spirale différente apparaîtra si vous utilisez dautres formes de remplissage de zone: des triangles ou des hexagones.)
La science consiste à trouver des modèles afin de prédire. Nous pouvons prédire quand la prochaine éclipse lunaire aura lieu, nous pouvons prédire quand le soleil se lèvera demain, nous pouvons prédire quand leau gèlera et bouillira, mais nous NE POUVONS PAS prédire le prochain nombre premier.
Résumé: Vous pourrez peut-être ramasser le serpent, mais vous ne savez pas de quelle manière il se tordra.
Remarque: Cette réponse est principalement basé sur ma réponse précédente ici:
Réponse de Bill Lauritzen à Y a-t-il un prix à celui qui découvre le modèle en nombres premiers?
Réponse
Cest vrai que la distribution des nombres premiers peut sembler aléatoire (et cest dans une certaine mesure). Cependant, les outils de la théorie analytique des nombres nous donnent un aperçu crucial de la distribution des nombres premiers et révèlent de nombreux modèles intéressants
Soit \ pi (x) le nombre de nombres premiers \ leq x où x est une variable réelle positive.
Daprès le théorème des nombres premiers , dont je ne connais pas de belle preuve élémentaire (la plus simple que je connaisse utilise une analyse complexe), ce qui suit est vrai de \ pi (x) lorsque x sapproche de linfini:
\ pi (x) \ sim \ frac {x} {\ log x}
Le ~ représente asymptotique léquivalence, dont lidée principale est que la fonction \ pi (x) est très proche de la fonction \ frac {x} {\ log x}, avec lapproximation de mieux en mieux à mesure que x devient de plus en plus grand.
Pour ceux qui sont familiers avec le calcul élémentaire, f (x) \ sim g (x) si la limite lorsque x sapproche de linfini de \ frac {f (x)} {g (x)} est 1.
Comme dhabitude en mathématiques supérieures, log représente le logarithme naturel. Cela implique également que si p (n) représente le n-ième premier, alors:
p (n) \ sim n \ log (n)
Un autre collorary facile est que si vous choisissez un entier aléatoire parmi les n premiers entiers positifs, la probabilité quil soit premier est denviron \ frac {1} {\ log n}
Une autre forme du théorème des nombres premiers qui est légèrement moins intuitive mais empiriquement plus précis est le suivant:
\ pi (x) \ sim \ int\_2 ^ x \ frac {1} {\ log t} dt
Dans les deux cas, la gauche côté est un entier tandis que le côté droit est une horrible fonction transcendantale (que nous pouvons évaluer un peu plus facilement que la gauche assez étrangement). Dans tous les cas, il doit y avoir une erreur si nous approchons \ pi (x) comme \ int\_2 ^ x \ frac {1} {\ log t} dt
Je ne connais pas vraiment la meilleure borne derreur prouvée à ce jour, mais si lhypothèse de Riemann savère vraie, nous pouvons améliorer la erreur liée à:
\ pi (x) = \ int\_2 ^ x \ frac {1} {\ log t} dt + O (\ sqrt {x} \ log (x))
De même, si la borne derreur est vraie, nous pouvons également prouver le Riemann hypothèse. Le problème avec cette borne derreur est quelle est serrée: nous savons que nous ne pouvons pas faire mieux.
Je dirais que le théorème des nombres premiers est probablement le résultat le plus important et le plus intéressant de la théorie analytique des nombres
tl; dr, les nombres premiers suivent asymptotiquement une distribution qui ressemble à une fonction analytique relativement simple, donc oui il y a un modèle.