Beste Antwort
Ich habe einmal einigen Mittelschülern Mathematik an einer exklusiven Privatschule beigebracht. Ich hatte einen Studenten, der arrogant war und mich und die anderen Studenten ständig nervte. Die Verwaltung unterstützte meine Versuche, ihn zu disziplinieren, nicht. Ich habe mir diese Lösung ausgedacht:
Ich sagte ihm, wenn er ein Muster für Primzahlen finden könnte, damit er das nächste vorhersagen kann, könnte er viel Geld verdienen und berühmt sein. Er mochte diese Herausforderung und widmete sich ihr. Er hatte Seiten und Seiten mit Berechnungen und hat mich nie wieder gestört. Hin und wieder zeigte ich Interesse an seiner Arbeit und er sagte etwas wie: „Ich glaube, ich bin auf etwas …“
Ich wusste, dass er nichts finden würde, weil ich es wusste dass es kein Muster für Primzahlen gibt. Es mag einige lokale Bereiche geben, in denen es den Anschein hat, dass es ein Muster gibt, aber es gibt kein Gesamtmuster und keine Formel für die Vorhersage der NÄCHSTEN Primzahl ohne PRÜFUNG.
Stellen Sie sich das so vor. Sie sind ein Mann aus der Altsteinzeit, der herausfindet, dass 2, 3, 5, 7, 11 und 13 die besten sind. Sie fragen sich, was die nächste Primzahl sein wird. Es gibt keine Möglichkeit, es ohne einige Tests zu finden. Sie können 14 testen. Nein. 15, nein. 16, nein. 17, Bingo.
Sie müssen nur die Faktoren bis einschließlich der Quadratwurzel der Zahl testen (im Fall von 17: 2, 3 und 4), da die nächste Zahl zu groß sein wird. aber Sie müssen testen. Dieser Test dauert rechnerisch lange. Dies ist die aktuelle Basis der Kryptographie. Wenn wir die nächste Primzahl vorhersagen könnten, wären alle unsere Passwörter nackt.
Mathematiker scheinen es zu hassen, zuzugeben, dass es dieses CHAOS in der Mitte von Zahlen gibt, aber es gibt es, und ich finde es reizend.
Woher weiß ich, dass es kein Muster gibt?
Muster: (Wörterbuchdefinition) • eine Anordnung oder Sequenz, die REGELMÄSSIG in vergleichbaren Objekten oder Ereignissen gefunden wird. • eine REGELMÄSSIGE und verständliche Form oder Sequenz, die in bestimmten Aktionen oder Situationen erkennbar ist.
Ein MUSTER impliziert also REGELMÄSSIGKEIT oder WIEDERHOLUNG. REPETITION impliziert MULTIPLIKATION, da MULTIPLIKATION REPETITIVE ADDITION ist. Multiplikation impliziert FAKTOREN, und wir können keine Faktoren haben, wenn es sich um Primzahlen handelt.
Berechnen: (Definition) Bestimmen Sie (die Menge oder Anzahl von etwas) mathematisch. Wir bestimmen nicht, ob eine Zahl MATHEMATISCH Primzahl ist. Wir machen es EXPERIMENTELL.
Ich denke, dass Primzahlen kein MUSTER haben, aber bestimmte TENDENZEN zu haben scheinen. Sie neigen dazu, spärlicher zu werden, wenn die Mengen zunehmen, aber dann plötzlich … sehen Sie zwei zusammen. Diese werden Doppelprimzahlen genannt. Beispiele: (41, 43), (137, 139). Niemand weiß, ob Zwillingsprimzahlen wie Primzahlen unendlich sind. Es wurde nicht bewiesen.
Wikipedia: „Das derzeit größte bekannte Twin-Prime-Paar ist 2996863034895 · 2 ^ 1290000 ± 1 mit 388.342 Dezimalstellen. Es wurde im September 2016 entdeckt. “ Zwillingsprimzahl – Wikipedia
Wie bei den Primzahlen selbst gibt es keine Möglichkeit, vorherzusagen, wann diese Zwillingsprimzahlen kommen werden entlang. (Es könnte möglich sein zu beweisen, ob sie jemals enden. Probieren Sie es aus.)
Einige Leute denken, dass die Ulam-Spirale „Muster“ enthält. Ulam-Spirale – Wikipedia
Wenn Sie jedoch die Figur herunterladen und in die Luft sprengen, werden einige gerade Linien auftauchen und dann verschwinden. Primzahlen sind unendlich. Natürlich werden statistisch gesehen (in unserem ARBITRARY Base 10-System) manchmal einige gerade Linien angezeigt, z. B. wenn Sie Münzen werfen, erhalten Sie manchmal eine große Anzahl von Köpfen.
(Außerdem verwendet die Ulam-Spirale Quadrate. Ich denke, eine andere Spirale wird erscheinen, wenn Sie andere flächenfüllende Formen verwenden: Dreiecke oder Sechsecke.)
In der Wissenschaft geht es darum, Muster zu finden, um Vorhersagen zu treffen. Wir können vorhersagen, wann die nächste Mondfinsternis sein wird, wir können vorhersagen, wann die Sonne morgen aufgehen wird, wir können vorhersagen, wann Wasser gefrieren und kochen wird, aber wir können die nächste Primzahl NICHT vorhersagen.
Zusammenfassung: Möglicherweise können Sie die Schlange aufnehmen, wissen aber nicht, in welche Richtung sie sich drehen wird.
Hinweis: Diese Antwort ist meistens basierend auf meiner vorherigen Antwort hier:
Bill Lauritzens Antwort auf Gibt es einen Preis für jemanden, der das Muster in Primzahlen entdeckt?
Antwort
Es ist Es stimmt, dass die Verteilung von Primzahlen zufällig erscheinen kann (und dies ist bis zu einem gewissen Grad der Fall). Die Werkzeuge der analytischen Zahlentheorie geben uns jedoch entscheidende Einblicke in die Verteilung der Primzahlen und zeigen viele interessante Muster
Es sei \ pi (x) die Anzahl der Primzahlen \ leq x, wobei x eine positive reelle Variable ist.
Nach dem Primzahlsatz , von dem ich keinen schönen elementaren Beweis kenne (der einfachste, den ich kenne, verwendet eine komplexe Analyse), Für \ pi (x) gilt Folgendes, wenn sich x der Unendlichkeit nähert:
\ pi (x) \ sim \ frac {x} {\ log x}
Das ~ steht für asymptotisch Äquivalenz, deren Hauptidee darin besteht, dass die Funktion \ pi (x) der Funktion \ frac {x} {\ log x} sehr nahe kommt, wobei die Approximation immer besser wird, wenn x immer größer wird.
Für diejenigen, die mit der Elementarrechnung vertraut sind, ist f (x) \ sim g (x), wenn die Grenze als x gegen unendlich von \ frac {f (x)} {g (x)} 1 geht.
Wie in der höheren Mathematik üblich, repräsentiert log den natürlichen Logarithmus. Dies impliziert auch, dass wenn p (n) die n-te Primzahl darstellt, dann:
p (n) \ sim n \ log (n)
Ein weiteres einfaches Kollorar ist das if Wenn Sie eine zufällige Ganzzahl aus den ersten n positiven Ganzzahlen auswählen, ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine Primzahl handelt, ungefähr \ frac {1} {\ log n}
Eine andere Form des Primzahlsatzes, die etwas weniger intuitiv ist empirisch genauer ist jedoch Folgendes:
\ pi (x) \ sim \ int\_2 ^ x \ frac {1} {\ log t} dt
In beiden Fällen links Seite ist eine ganze Zahl, während die rechte Seite eine schreckliche transzendentale Funktion ist (die wir seltsamerweise etwas leichter bewerten können als die linke). Auf jeden Fall muss es einen Fehler geben, wenn wir \ pi (x) als \ int\_2 approximieren ^ x \ frac {1} {\ log t} dt
Ich kenne die bisher beste nachgewiesene Fehlergrenze noch nicht ganz, aber wenn sich die Riemann-Hypothese als wahr herausstellt, können wir die verbessern Fehler gebunden an:
\ pi (x) = \ int\_2 ^ x \ frac {1} {\ log t} dt + O (\ sqrt {x} \ log (x))
Wenn die Fehlergrenze wahr ist, können wir auch den Riemann beweisen Hypothese. Die Sache mit dieser Fehlergrenze ist, dass sie eng ist: Wir wissen, dass wir es nicht besser machen können.
Ich würde sagen, der Primzahlsatz ist wahrscheinlich das wichtigste und interessanteste Ergebnis in der analytischen Zahlentheorie
tl; dr, die Primzahlen folgen asymptotisch einer Verteilung, die einer relativ einfachen Analysefunktion ähnelt, also gibt es ja ein Muster.