Beste Antwort
Ja.
Es liegt außerhalb des Dreiecks.
H ist das Orthozentrum von \ Delta ABC.
Beachten Sie auch, dass \ bar {AH} \ bot \ bar {BC}; \ bar {BH} \ bot \ bar {CA}; \ bar {CH} \ bot \ bar {AB}
Antwort
Wie finden Sie das Zirkumzentrum und das Orthozentrum eines stumpfen Dreiecks außerhalb des Dreiecks?
Eine Möglichkeit, das Zirkumzentrum und das Orthozentrum für ein stumpfes oder nicht stumpfes Dreieck zu bestimmen, ist durch Verwendung von Vektoren und Matrizen.
Intro:
Es ist ein bisschen involviert, also wird es nicht geben Beliebiger Raum, um die Berechnungen anzuzeigen.
Nehmen wir an, wir haben ein Dreieck mit den Eckpunkten A, B und C und die Längen ihrer gegenüberliegenden Seiten sind a, b bzw. c.
Wir definieren drei Vektoren: \ vec {u} = \ left (BA \ right), \ vec {v} = \ left (CA \ right) und \ vec {w} = \ vec {u } – \ vec {v} = \ left (BC \ right).
Nun, sin Da Vektoren Matrizen sind, können wir das Matrixformat verwenden, bei dem ein T nach einem Vektor bedeutet, dass es transponiert ist. Also \ vec {u} ^ {T} \ vec {u} = c ^ {2}, \ vec {v} ^ {T} \ vec {v} = b ^ {2} und \ vec {w} ^ {T} \ vec {w} = a ^ {2}. Dies sind tatsächlich Punktprodukte.
Um Verwirrung zu vermeiden, verwende ich auch die Notation \ vec {u} ^ {T} \ vec {u} = u ^ {2}, \ vec {v } ^ {T} \ vec {v} = v ^ {2} und \ vec {w} ^ {T} \ vec {w} = w ^ {2}. Also, u \ equiv c, v \ equiv b und w \ equiv a. Ich werde auch einen Hut verwenden, um einen Einheitsvektor darzustellen, der nur ein Vektor ist, der durch seine eigene Länge geteilt wurde und somit eine Länge von 1 hat. Zum Beispiel \ frac {\ vec {u} ^ {T} \ vec {v}} {uv} \ equiv \ hat {u} ^ {T} \ hat {v}.
Transformationsmatrix:
Wir definieren jetzt eine Transformationsmatrix. Wenn Sie in 2-Dimensionen arbeiten, handelt es sich um eine 2×2-Matrix und wenn Sie in 3-Dimensionen arbeiten, handelt es sich um eine 3×3-Matrix. Beachten Sie, dass \ theta\_ {A} der Winkel zwischen \ vec {u} und \ vec {v} ist, der der Winkel am Scheitelpunkt A ist.
\ quad R = \ frac {v ^ {2} \ vec {u} \ vec {u} ^ {T} -u ^ {2} \ vec {v} \ vec {v} ^ {T}} {u ^ {2} v ^ {2} – \ left ( \ vec {u} ^ {T} \ vec {v} \ right) ^ {2}} = \ frac {\ hat {u} \ hat {u} ^ {T} – \ vec {v} \ vec {v } ^ {T}} {1- \ left (\ hat {u} ^ {T} \ hat {v} \ right) ^ {2}} = \ frac {\ hat {u} \ hat {u} ^ { T} – \ hat {v} \ hat {v} ^ {T}} {\ sin ^ {2} \ theta\_ { A}}
Wir verwenden die Transformationsmatrix, um einen anderen Vektor zu definieren.
\ quad \ vec {r} = \ frac {v ^ {2} \ left (\ vec {u } ^ {T} \ vec {w} \ rechts) \ vec {u} -u ^ {2} \ links (\ vec {v} ^ {T} \ vec {w} \ rechts) \ vec {v}} {u ^ {2} v ^ {2} – \ left (\ vec {u} ^ {T} \ vec {v} \ right) ^ {2}} = R \ vec {w}
Formeln:
Sei H das Orthozentrum, das der Punkt ist, an dem sich alle drei Höhen eines Dreiecks schneiden. Eine Höhe verläuft von jedem Scheitelpunkt auf einer Linie, die senkrecht zu seinem gegenüberliegenden Schenkel verläuft.
Q sei das Zirkumzentrum, das der Punkt ist, an dem sich die senkrechten Winkelhalbierenden aller drei Seiten eines Dreiecks schneiden. Es ist das Zentrum des Kreises, bei dem es sich um einen Kreis handelt, der alle drei Eckpunkte eines Dreiecks enthält.
Mit einigen Arbeiten kann nun abgeleitet werden, dass
\ quad \ begin {array} {l} H = \ vec {A} + \ left (\ vec {u} + \ vec {v} \ right) – \ vec {r} \\ Q = \ vec {A} + \ frac {1} {2} \ vec {r} \ end {array}.
Indem wir die Eckpunkte des genannten Dreiecks als Vektoren verwenden, können wir diese in symmetrische Formeln konvertieren.
\ begin {array} {l} H = \ left (\ vec {A} + \ vec {B} + \ vec {C} \ right) – \ frac {a ^ {2} \ left (-a ^ {2 } + b ^ {2} + c ^ {2} \ rechts) \ vec {A} + b ^ {2} \ links (a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2} \ rechts) \ vec {B} + c ^ {2} \ left (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} \ right) \ vec {C}} {\ left (a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2} \ rechts) – \ frac {1} {2} \ links (a ^ {4} + b ^ { 4} + c ^ {4} \ right)} \\ Q = \ vec {A} + \ dfrac {1} {2} \ frac {a ^ {2} \ left (-a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} \ rechts) \ vec {A} + b ^ {2} \ links (a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2} \ rechts) \ vec {B. } + c ^ {2} \ left (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} \ right) \ vec {C}} {\ left (a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2} \ rechts) – \ frac {1} {2} \ links (a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4} \ right)} \ end {array}
Beachten Sie, dass keine Quadratwurzeln und keine Trigonometrie ar sind Es ist erforderlich, die beiden Zentren zu finden.