A legjobb válasz
Ez nem forog 45 ^ o-nál. Ez az átalakítás egy vektor forgatásához a \ mathbb {R} ^ 2 egy szöggel \ theta. A következő képletet származtathatja:
Hagyja, hogy a \ mathbf {V} vektor elforduljon egy \ theta szög alatt némi átalakítás az új \ mathbf {V “} vektor megszerzéséhez.
Legyen r = | \ mathbf {V} |. Ezután megkapjuk a következő összefüggéseket:
v\_x = r \ cos \ alpha
v\_x “= r \ cos (\ alpha + \ theta)
v\_y = r \ sin \ alpha
v\_y” = r \ sin (\ alpha + \ theta)
Innentől kezdve megvan a kapcsolat:
v\_x “= v\_x \ cos \ theta – v\_y \ sin \ theta
v\_y “= v\_x \ cos \ theta + v\_y \ sin \ theta
Ez mátrix formában jelenik meg:
\ begin {pmatrix} v\_x” \\ v\_y “\ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} \ cos \ theta && – \ sin \ theta \\ \ sin \ theta && \ cos \ theta \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} v\_x \\ v\_y \ end {pmatrix}
Válasz
A probléma többféleképpen is megtámadható.
Az első az, hogy egyszerűen meg kell hívni a Euler forgatását. tétel, amely kimondja, hogy bármilyen véges számú forgatás egyetlen rögzített pont körül (de tetszőleges tengelyek körül imázsok) kifejezhetők a \ theta szög egyetlen elforgatásaként egy tengely körül \ n {n}.
Ha elfogadjuk, hogy minden elfordulást mátrix képvisel, és hogy a vektor elforgatásának módja mátrixszorzás, akkor ebből azonnal következik, hogy az A\_1 A\_2 … A\_n forgásmátrixok szorzatának is forgásmátrixnak kell lennie – különben megsértettük Euler forgatási tételét.
A kérdés természetesen az, hogy valójában bebizonyítja ezt a tételt.
Euler eredeti műve… durva. Sok-sok gömb felületére rajzolt háromszöget tartalmaz (azaz nem euklideszi háromszögeket).
Ha kedveli a követést a bizonyítás a végéig, a korábban linkelt wikipédia oldal úgy tűnik, hogy félig tisztességes munkát végez.
Alternatív módszer (vagy ezzel egyenértékű, másodlagos módszer az Euler-tétel igazolására, azt hiszem) az, hogy közvetlenül használja a forgási mátrixok tulajdonságait, kis kitéréssel a csoportelméletre.
A forgatás matematikailag minden olyan művelet, amelyben a tér összes pontja közötti távolság állandó marad, és amely pontokat hagy, vagy rögzített ponthalmaz (feltételezve, hogy egy egyszerű euklideszi téren vagyunk), az objektum orientációs struktúrájának megőrzése mellett.
Csoportelméleti nyelvben ezeket a műveleteket hívjuk (az euklideszi térben) ) a „Speciális ortogonális csoport n dimenzióban”, vagy röviden SO (n).
Az SO (n) tagjának számító A mátrixokat a következő két tulajdonság határozza meg:
- A ^ TA = 1\_n (az ortogonális bit)
- \ text {det} (A) = 1 (a speciális bit)
Vagyis a forgási mátrixok ortogonális mátrixok, amelyek meghatározóval rendelkeznek. Itt az 1\_n az n dimenzióban lévő azonossági mátrix.
Az „ortogonalitás” feltétel az a feltétel, amely biztosítja a távolságok megőrzését, mivel az euklideszi térben egy vektor \ mathbf {v} hossza:
\ displaystyle d ^ 2 = \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v} \ tag * {}
Ha ezt a vektort elforgatjuk, akkor a \ mathbf {v} ^ \ prime = A \ mathbf {v}, A-val egy derékszögű vektor, majd a mátrixszorzás tulajdonságai szerint:
\ displaystyle \ mathbf {v} ^ \ prime \ cdot \ mathbf {v} ^ \ prime = \ mathbf {v} ^ TA ^ TA \ mathbf {v} = \ mathbf {v} ^ T \ mathbf {v} = d ^ 2 \ tag * {}
Ezért a A d távolságot a forgatás nem befolyásolta.
Az összes ortogonális mátrixnak van determinánsa \ pm 1, de a negatív determinánssal rendelkező tükör-visszaverődés is tartalmaz valamilyen tengely körül. Tekintettel arra, hogy tiszta forgatásokra, nem pedig tükröződésekre vágyunk, hogy megőrizzük az objektumok tájékozódását a térben, ezért csak azokra korlátozódunk, amelyek pozitív determinánsokkal rendelkeznek – innen származik a „különleges” bit.
Az a tény, hogy említettem, hogy ezek a struktúrák csoportot alkotnak (a társított művelet a mátrixszorzás), valójában elegendő arra a következtetésre, hogy több forgási mátrix szorzata valójában egyben rotáció is, mivel a csoportokat c a csoportművelet alatt .
Ez azt jelenti, hogy bármely két g\_1 és g\_2 elem a G csoportban, a g\_1 \ bullet g\_2 -nak vissza kell adnia egy harmadik elemet, g\_3, amely szintén a G csoport tagja. Ezért ha A és B rotációs mátrixok, akkor a csoport meghatározásából az következik hogy az A \ bullet B = AB szintén egy rotációs mátrix.
Természetesen … ez egy csalási kiút. Annak megállapításához, hogy SO (n) csoport volt, be kell bizonyítanom, hogy ez igaz volt! Kifejezetten megmutatható az átültetés és a determináns következő általános tulajdonságaiból is:
- (AB) ^ T = B ^ TA ^ T
- \ text {det} (AB) = \ text {det} (A) \ text {det} (B)
Ezért felépítünk egy C = AB mátrixot, ahol A és Bare SO (n) tagok .
Ezután figyelembe vesszük:
- C ^ TC = (B ^ TA ^ T) (AB) = B ^ T (A ^ TA) B = B ^ TB = {1\_n}
- Mivel A ^ TA = 1\_n és B ^ TB = 1\_n, valamint a mátrixszorzás asszociativitása.
- \ text {det} (C) = \ text {det } (AB) = \ text {det} (A) \ text {det} (B) = 1 \ szor 1 = 1
Ezért azt látjuk, hogy C egy ortogonális mátrix, meghatározó – azaz az SO (n) tagja, és így egy rotációs mátrix.
Ezért bebizonyítottuk, hogy az SO (n) (és valóban O (n)) egy olyan csoportot alkot, amely zárt mátrix szorzás alatt, és ezért definíció szerint a több forgatás összefűzése önmagában rotáció.
Ezért bebizonyítottuk az Euler forgatási tételét.