Legjobb válasz
Gavin Song már remek választ adott Önre, de mindent megteszek, hogy alternatívát nyújtsak Önnek a probléma számításának módja a Kalkulus használatával.
Tény: Bármely 2D ellipszis paraméterezhető úgy, hogy
\ begin {align *} y (t) & = a \ sin (t) \\ x (t) & = b \ cos (t) \ end {align *}
Ahol 0 \ leq t \ leq 2 \ pi és a és b a fél- és félnagy tengelyek (más néven a függőleges és a vízszintes sugarak).
Vegyük figyelembe, hogy egy pont az x tengelyben, egy másik pedig az y tengelyben változik, mondjuk \ Delta y és \ Delta x. A Pitagorasz-tétel segítségével tudjuk, hogy a pont kezdeti és végső helye közötti hosszúságot a (\ Delta y ^ 2 + \ Delta x ^ 2) ^ {1/2} adja meg. Egyszerű?
Most alkalmazza ezt a logikát a paraméterezett ellipszisre. Az ellipszis kerületének közelítéséhez az ellipszis egy pontját t-ben több lépés mentén „követhetjük”, megmérhetjük a helyei közötti hosszúságot minden egyes intervallumban, és a végén összeadhatjuk őket. Ha ezt megpróbálja egyedül elvégezni, akkor észreveszi, hogy a mérés egyre pontosabb lesz, ha figyelembe vesszük az egyre kisebb intervallumokat. Tehát a valódi kerület megszerzése érdekében végtelenül kis időközönként végezhetjük ezt a folyamatot, ami végtelenül kicsi változásokat eredményezne x-ben és y-ben, például dx és dy. Ez egyenértékű a következő integrál kiértékelésével:
\ int\_ {0} ^ {2 \ pi} (dx ^ 2 + dy ^ 2) ^ {1/2}
A kerület legyen kifejezve l-vel. Ha a korábbi paraméterezést használjuk, ezt úgy fejezhetjük ki, hogy
\ begin {align *} l & = \ int\_ {0} ^ {2 \ pi} \ Big (\ Big (\ frac {dy } {dt} \ Nagy) ^ 2 + \ Nagy (\ frac {dx} {dt} \ Nagy) ^ 2 \ Nagy) ^ {1/2} dt \\ & = \ int\_ {0} ^ {2 \ pi } (a ^ 2 \ cos ^ 2 (t) + b ^ 2 \ sin ^ 2 (t)) ^ {1/2} dt \ end {igazítás *}
Van azonban fogás. Ennek az integrálnak nincs szimbolikus megoldása, hacsak a = b (amely elegánsan megadja a kör kerületének képletét), így egyetlen lehetőségünk numerikus módszerekkel jó megközelítést kapni. Ez érdekes vagy csalódást okozhat számodra, de mindkét esetben remélem, hogy segített.
🙂
Válasz
Ha kibírsz velem, megteszem fontolja meg ezt a kérdést fordítva.
Tegyük fel, hogy egy körnek és egy ellipszisnek egyenlő területe van.
A kérdésem a következő: „Ugyanolyan kerülete van?”
(Vegye figyelembe, hogy amikor a = b = r a képlet megegyezik a kör területével.)
A egy kör 2πr
Az ellipszis kerületét nagyon nehéz kiszámítani!
Az emberek megpróbálták megtalálni képletek az ellipszis kerületének megkeresésére, de a próbálkozások többsége csak közelítés.
Néhány módszer még a végtelen sorok összegzését is magában foglalja!
A híres indiai matematikus, Ramanujan kidolgozott egy nagyon jó képletet, ami: elég pontos.
Ne feledje, hogy ha a = b = r, akkor az ellipszis körvé válik, és a fenti képlet a képlet a kör kerületére C = 2πr .
Ha ezt behelyettesítjük a képletébe, megkapjuk:
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
Vegyünk egy konkrét példát, ahol a kör sugara 6 cm és egy ellipszis fő tengelye 9 cm, melléktengelye pedig 4 cm.
A kör területe = π × 6 × 6 = 36π négyzetméter cm
ellipszis = π × 9 × 4 = 36π négyzetméter cm
————————————————— ——————————
A kör kerülete = 2πr = 12π cm
Az ellipszis kerülete Ramanujan képletével a következő:
————————————————————————————————— ————
Következtetés, ha a körnek és az ellipszisnek ugyanaz a területe, akkor a ellipszis nagyobb kerülete, mint a kör .