Megadták, hogy a 2 ^ 32 + 1 teljesen osztható egy egész számmal. akkor a következő sz. teljesen osztható ezzel a sz. 1) 2 ^ 16 + 1 2) 7 * 2 ^ 33 3) 2 ^ 16 – 1 4) 2 ^ 96 +1

Legjobb válasz

Mondd, 2 ^ 32 + 1 osztható m-mel.

Tehát, 2 ^ 32 = -1 (mod m)

(2 ^ 32) ^ 3 = (- 1) ^ 3 ( mod m)

2 ^ 96 = -1 (mod m)

2 ^ 96 + 1 = 0 (mod m)

Tehát, a helyes válasz 2 ^ 96 + 1

Válasz

Nem. Például nézze meg, mi történik, ha x = 12. Kapsz x ^ 2 = 144 = 24 \ cdot 6, de az x nem osztható 24-vel.

Itt megállhatnék, de ez nem lenne tanulságos , leszámítva azt, hogy téved. Ez nem különösebben hasznos.

Végül is be tudom bizonyítani, hogy ha k | x ^ 2 (olvassa el, hogy „k osztja x ^ 2-t), majd k | x sok k esetében, köztük 21, 22, 23, 26, 29 és 30, de 20, 24, 25, 27 vagy 28 esetében nem. Mi a különbség? Itt válnak érdekessé és tanulságossá a dolgok.

Mit tudunk az x-ről? A számtani alaptétel alapján tudjuk, hogy x egyedileg ábrázolható a prímszámok szorzataként, x = 2 ^ {a\_2} 3 ^ {a\_3} 5 ^ {a\_5} \ cdots. Ezen a\_p értékek bármelyike ​​(vagy az összes, x = 1 esetén) 0 lehet, és valójában csak egy véges szám nem nulla.

Ez azt jelenti, hogy x ^ 2 = 2 ^ { 2a\_2} 3 ^ {2a\_3} 5 ^ {2a\_5} \ cdots. Minden kitevő egyenletes.

Mit tudunk k-ról? Ugyanezen tétel szerint tudjuk, hogy k = 2 ^ {k\_2} 3 ^ {k\_3} 5 ^ {k\_5} \ cdots.

Hogyan viszonyul ez az oszthatósághoz? Ha k | x ^ 2, ez azt jelenti, hogy k\_2 \ leq 2a\_2, k\_3 \ leq 2a\_3, \ dots, k\_p \ leq 2a\_p, \ dots. Ha azonban k | x, ez azt jelenti, hogy k\_2 \ leq a\_2, k\_3 \ leq a\_3, \ dots, k\_p \ leq a\_p.

Tehát csak annyit kell tennünk, hogy bebizonyítsuk, ha x ^ 2 osztható k-vel, akkor x osztható k-val azt mutatja, hogy ha k\_p \ leq 2a\_p, akkor k\_p \ leq a\_p. Mivel a k\_p, az a\_p bármilyen nem negatív egész szám lehet, megnézhetjük az egyszerűbb problémát: milyen feltételek mellett van b \ leq 2c, amely b \ leq c-re utal?

Alapvetően megpróbálunk értékeket keresni b, ahol a c \ leq 2c kifejezés egyetlen c esetében sem érvényes. Mivel nincs c , akkor b = 0 működik. B = 1 esetén arra kényszerülünk, hogy c = 0 legyen, tehát 1 \ not \ leq 2c = 0, tehát b = 1 működik.

De b> 1 esetén ez nem munka. Mindig kiválaszthatja a c = b-1 b lehetőséget, és így nem az a helyzet, hogy a b \ leq 2c \ azt jelenti, hogy b> 1. > Ha ezt vissza akarjuk térni a problémánkhoz, ez azt jelenti, hogy k | -t mondhatunk x ^ 2 \ k | -t jelent x csak akkor, ha a k-ban szereplő prímszámok kitevői 0 vagy 1. Ezeket a k értékeket „négyzetmentesnek” nevezzük, mert nem oszthatja el őket négyzetszámmal.

Tehát k megmutathatja | x ^ 2 \ k | -t jelent x, ha k négyzetmentes.

Azoknál a számoknál, amelyeket fentebb néztem, 20 osztható a 4 négyzettel, 24 osztható a 4 négyzettel, 25 négyzet, 27 osztható a 9 négyzettel , 28 osztható a 4 négyzettel. A többi szám, 21, 22, 23, 26, 29, 30, mind négyzet nélküli, amelyet ellenőrizhet, ha akar.