Legjobb válasz
Először is, \ sqrt {x} \ stackrel {\ text {def}} {=} x ^ {\ frac12}.
Most a négyzetgyök függvényt fogom képviselni Taylor-sorozatával. Kiszámolom ezt a Taylor-sorozatot körülbelül 16-ra, csak azért, hogy biztonságban legyek a bosszantó konvergencia sugaraktól. Ezután úgy fogom megközelíteni az \ sqrt {20} értéket, hogy x = 20-at állítok be a sorozatba.
A f \ bal (x \ jobb) bármelyik litlitikus függvény Taylor-sorozatának meghatározása a következő:
f \ left (x \ right) = \ displaystyle \ sum\_ {n = 0} ^ {\ infty} f ^ {\ left (n \ right)} \ left (a \ right) \ frac { \ left (xa \ right) ^ n} {n!}
Itt az f ^ {\ left (n \ right)} az f n-edik származékát jelöli. Számos derivatívát kell kiszámítanunk, és remélhetőleg lesz egy kissé könnyen észrevehető minta.
A f \ left (x \ right) a továbbiakban \ sqrt {x} jelölést fog tartalmazni.
Az f „nulladik” származéka egyszerűen f. F \ bal (16 \ jobb) lesz a sorozat első tagjának együtthatója. (Ne feledje, úgy döntöttem, hogy a Taylor-sorozatot középre helyezem 16 köré. A 16 négyzetgyöke A elég könnyű – csak 4 . Négy négyen a 16.)
f \ left (x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 0} {0!} + \ cdots
Oké. A dolgok egy kicsit kihívást jelentenek. Most ki kell számolnunk az \ sqrt {x} deriváltját.
A teljesítményszabály azt mondja, hogy \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} x ^ n = nx ^ { n-1}. Ebben az esetben n = \ frac {1} {2} (figyelembe véve, hogy \ sqrt {x} = x ^ {\ frac {1} {2}}).
Ezért \ frac {\ szöveg {d}} {\ text {d} x} \ sqrt {x} = \ frac {1} {2} x ^ {- \ frac {1} {2}} = \ frac {1} {2 \ sqrt {x}}. A sorozat következő együtthatója ezért \ frac {1} {2 \ sqrt {16}} vagy egyszerűen \ frac {1} {8}.
A Taylor-sorozat következő fogalma tehát f “\ left (16 \ right) \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} {1!} vagy egyszerűen \ frac {1} {8} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} {1!}.
Itt van az eddigi részösszeg:
f \ left (x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right ) ^ 0} {0!} + \ Frac {1} {8} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} {1!} + \ Cdots
Oké, most, ki kell számolnunk az f \ left (x \ right) második deriváltját, vagy egyszerűen ki kell számolnunk a \ frac {1} {2 \ sqrt {x deriváltját }}.
Ehhez a Láncszabály használatára lesz szükség, mert az egyik függvény a másikban áll. Az egyik függvényt a továbbiakban g \ left (x \ right) = \ frac {1} { x}, a másikat a továbbiakban h \ left (x \ right) = 2 \ sqrt {x} jelöli. A származékot meg akarjuk találni: f “\ left (x \ right) = \ frac {1} {2 \ sqrt {x}}. Más szavakkal, meg akarjuk találni a g \ left (h \ left (x \ right) \ right) származékát.
A Láncszabály azt mondja, hogy \ frac {\ text {d}} {\ szöveg {d} x} g \ bal (h \ bal (x \ jobb) \ jobb) = g “\ bal (h \ bal (x \ jobb) \ jobb) h” \ bal (x \ jobb).
A g \ left (x \ right) deriváltja – \ frac {1} {x ^ 2} (a teljesítményszabály szerint). A h \ left (x \ right) deriváltja \ frac {1} {\ sqrt {x}} (a teljesítményszabály és a \ left (cf \ left (x \ right) \ right) tulajdonság alapján. ” = cf “\ left (x \ right)).
Most megvan az a \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ frac {1} {2 \ sqrt { x}} = – \ frac {1} {4 \ balra (\ sqrt {x} \ jobbra) ^ 3}. A sorozat harmadik együtthatója tehát – \ frac {-1} {4 \ left (\ sqrt {16} \ right) ^ 3} (vagy egyszerűbben – \ frac {1} {256}).
A sorozat harmadik kifejezése: – \ frac {1} {256} \ frac {(x-16) ^ 3} {3!}
Az eddigi teljes részösszeg:
f \ left (x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 0} {0!} + \ frac {1} {8} \ frac {\ left ( x-16 \ right) ^ 1} {1!} – \ frac {1} {256} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 2} {2!} + \ cdots
Most folytatom az f \ left (x \ right) negyedik deriváltjának kiszámítását.
\ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ frac {-1 } {4 \ left (\ sqrt {x} \ right) ^ 3} = \ frac {3} {8x ^ 2 \ sqrt {x}}
A sorozat negyedik tagja \ frac lesz {3} {8192} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 3} {3!}
Az összegnek most négy kifejezése van:
f \ left ( x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 0} {0!} + \ frac {1} {8} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} { 1!} – \ frac {1} {256} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 2} {2!} + \ Frac {3} {8192} \ frac {\ left (x-16 \ jobbra) ^ 3} {3!} + \ cdots
Ha ezzel a mintával folytatjuk, akkor a következő együtthatómintát kapjuk:
\ frac {1} {0,25 }, \ frac {1} {8 }, – \ frac {1} {256}, \ frac {3} {8192}, – \ frac {15} {262144}, \ cdots
Itt az ideje, hogy keressen egy mintát és kifejezze a szekvencia explicit képlettel.
Az n-edik nevezőt a b\_n = \ left (2 ^ {n + 2} \ right) \ left (16 ^ {n-1} \ right) képviselheti, amely leegyszerűsíti hogy b\_n = 2 ^ {5n-2} (n kezdeti értéke 0). Az könnyű volt. Mit szólnál a számlálókhoz?
Itt van a számlálók sorozata (figyelmen kívül hagyva a jelváltoztatást, amelyről később gondoskodunk):
1,1,1,3,15,105,945, \ cdots
…
Hmm…
…
A számlálók mintázata meglehetősen egyszerű. Vegyük a 945 értéket, és osszuk el 105-tel. 9-et kapunk. Ezután vegyük a 105-öt, és osszuk el 15-tel. 7-et kapunk. Itt páratlan számú termékek szerepelnek.
A \ bal (n + 2 \ jobb) harmadik kifejezés a számlálók sorrendjében (kivéve az alternációt) tehát:
t\_n = \ displaystyle \ prod\_ {k = 1} ^ {n} \ left (2k + 1 \ right)
A számlálók képlete pi jelölés formájában van. Jobb lenne, ha valahogy a faktoriális jelöléssel használnánk.
Ha az első 2n + 2 egész számának szorzatát elosztjuk a 2 és 2n közötti páros egészek szorzatával, akkor megkapjuk a 1–2n + 1 páratlan egészek szorzata. Más szóval:
t\_n = \ displaystyle \ prod\_ {k = 1} ^ {n} \ bal (2k + 1 \ jobb) = \ frac {\ bal (2n + 2 \ jobb)!} {\ prod\_ {k = 1} ^ {n + 1} 2k}
Mostantól elvehetjük a pi jelölést, és kicserélhetjük egy kisebb, elegánsabb kifejezésre. Mint láthatja, a kifejezésben szereplő 2-et n + 1-szer szorozza meg önmagával. Tehát kihúzhatjuk a kettőt, elhelyezhetjük a nagy nagy pi előtt, majd a 2-et n + 1 erejéig emelhetjük. Így marad:
t\_n = \ frac {\ bal (2n + 2 \ jobb)!} {2 ^ {n + 1} \ prod\_ {k = 1} ^ {n + 1} k }
A fenti egyenlet egyszerűbben így írható:
t\_n = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {n + 1} \ balra (n + 1 \ jobbra)!}
Lehet, hogy már észrevette, hogy a közvetlenül a fenti kifejezés által megadott sorozatot két kifejezés zárja le. A probléma megoldásához mindössze annyit kell tennünk, hogy megtaláljuk az összes n-t a nevező képletben, és hozzáadjuk őket 2-vel. Ugyanezt kell tennünk a többi kifejezéssel is, x-hatványokkal.
A nevező képlete végül 2 ^ {5n + 8}.
Mivel áthelyeztük a sorozatot, a kizártakat még mindig be kell vennünk valahova a kifejezésbe. Lesznek más kifejezések is, amelyek előtt szerepelnek a kifejezés sigma jelölése előtt. Ezek a kifejezések 4 és \ frac {1} {8} \ balra (x-16 \ jobbra).
A sorozat minden tagjának együtthatója a következő lesz:
c\_n = \ frac {\ frac {\ bal (2n + 2 \ jobb)!} {2 ^ {n + 1} \ bal (n + 1 \ jobb)!}} {2 ^ {5n + 8}}
ami leegyszerűsíti a következőket:
c\_n = \ frac {\ bal (2n + 2 \ jobb)!} {2 ^ {6n + 9} \ bal (n + 1 \ jobb)!}
Ez a sorozat n-edik együtthatójának képlete (ez kizárta az első két kifejezést, mert ezek a kifejezések hibákat okoznának a t\_n képletében).
Most elkezdhetünk írni a sigma jelölés (ne feledd, a sorozatot úgy mozgattuk, hogy kivegyük a gúnyos kifejezéseket, így a sigma jelölés elején lesz néhány dolog).
f \ left (x \ right) = 4 + \ frac {1} {8} \ bal (x-16 \ jobb)
– \ frac {1} {256} \ frac {\ bal (x-16 \ jobb) ^ 2} {2 !} + \ frac {3} {8192} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 3} {3!} – \ cdots
Negatív kezdetű váltakozó sorozat, így meg kell szoroznunk a kifejezéseket a -1 (n + 1) hatványával.
f \ left (x \ right) = 4 + \ frac {1} {8} \ left ( x-16 \ jobbra) + \ displaystyle \ sum\_ {n = 0} ^ {\ be fty} \ frac {\ bal (-1 \ jobb) ^ {n + 1} \ bal (2n + 2 \ jobb)!} {2 ^ {6n + 9} \ bal (n + 1 \ jobb)!} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ {n + 2}} {\ left (n + 2 \ right)!}
Tisztítva:
f \ left (x \ right) = \ sqrt {x} = 2 + \ frac {x} {8} + \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ {n + 1} \ bal (-1 \ jobb) ^ n \ bal (2n \ jobb)!} {2 ^ {6n + 3} n! \ bal (n + 1 \ jobb)!}
HA!
Most már megvan a Taylor sorozat ehhez az úgynevezett „négyzetgyökös” funkcióhoz, ami a kalkulátoroknál biztosan nem számít. Most már csak a huszon négyzetgyökét kell megközelítenünk az általunk kitalált taylor-sorozat segítségével.
f \ left (20 \ right) = 2 + \ frac {20} {8 } + \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ bal (20-16 \ jobb) ^ {n + 1} \ bal (-1 \ jobb) ^ n \ bal (2n \ jobb )!} {2 ^ {6n + 3} n! \ Balra (n + 1 \ jobbra)!}
Egyszerűsítve:
f \ balra (20 \ jobbra) = \ sqrt {20} = 4.5 + \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ bal (-1 \ jobb) ^ n \ bal (2n \ jobb)!} {2 ^ {4n + 1 } \ left (n + 1 \ right) \ left (n! \ right) ^ 2}
Beírtam a fenti kifejezést a Desmos-ba, a \ infty-t pedig 15-re cseréltem. Desmos értékelte az összeget. Tehát a húsz négyzetgyöke hozzávetőlegesen 4,472135955.
Mélyen elmélyültem ebben a válaszban, mert különben elég unalmas lenne.
Mindenki, aki használhatja az internetet, még a a legtöbb tudományos számológép. A négyzetgyök függvény mindig rendelkezésre áll az Ön számára 24/7/365. Ennek köszönhetően ellenőrizni fogom a válaszomat.
4.472135955 \ stackrel {?} {=} 4.472135955 \ approx \ sqrt {20}
4.472135955 \ stackrel {\ checkmark} {=} 4.472135955 \ kb \ sqrt {20}
Köszönjük, hogy elolvasta.
Válasz
Nos, próbálkozzon számológép nélkül .
Keresse meg azt a számot, amelynek négyzete éppen kevesebb, mint 20, ez négy.
Keressen egy számot, amelynek négyzete valamivel 20 felett van , ez az 5.
Tehát, 4 qrt (20)
Ha egyszer azonosítottuk, számítsuk ki ennek a két számnak az átlagát, ami 4,5
AM ≥ GM és GM = √4 * 5 = √20.
Ezért van √20 ,5
Tehát 4 qrt (20) ,5
Számítsa ki a 4,5 négyzetet … 4 * 5 +, 25 = 20,25 …
Csak egy kicsit magas…
Tehát a válasznak 4,5 körül kell lennie, és nem közelítenie a 4-et .
Most próbáljuk meg „helyesebbnek” találni
Vegyük az f (x) = sqrt (x)
f “(x) = o.5 / sqrt (x)
Most f (20.25) = 4.5, f (20) =?
Vegyük ∆x = -0.25
f (x + ∆x) = f (x) + ∆x * f “(x)
(Taylor sorozata első rendre csonkolva vagy hívhatja Newtonot Raphson módszer)
Most, amikor x és ∆x helyettesítjük, megvan,
f (20) = 4,5 -0,25 * 0,5 (1 / 4,5)
= 4,5 – (1/4) (1/9) = 4,5 – .1111 / 4
= 4.5 -10 ^ (- 4) [(1000 + 100 + 10 + 1) / 4]
= 4.5 – 10 ^ – (4) [250 + 25 + 2.5 + 0.25]
= 4.5 -0.027775
= 4.472225
Ezért sqrt (20) ~ 4.472225
És ezt kínálta a Google a válaszként.
Tehát a mi válaszunk nem is olyan rossz !!