Legjobb válasz
Sok jó válasz van írva, amelyek segítenek elképzelni, mit jelent ez a kérdés annak érdekében, hogy intuitív módon eljusson egy A 3. válasz. És semmi, amit ide írok, nem kíván semmit levonni e válaszok értékéből. Segítenek az új hallgatóknak konkrétan gondolkodni a matematika és a modellezés kapcsolatáról, és ez HATALMAS készség.
Ennek ellenére a matematika nem modellezés. Tehát a probléma gondolkodásának alternatív módja pusztán matematikai szempontból. És ha fejleszted ezt a készséget, akkor azon fog dolgozni, hogy elvontabb matematikai fajtákat tudj kezelni, amelyek gyakran véget vetnek azoknak a hallgatóknak a matematikai karrierjében, akik kizárólag modellközpontúbb, intuitívabb megközelítésre támaszkodnak.
Azt kérdezte, hogy „Mi a 3/4 osztva 1/4-gyel?”
A kérdés közepén a „osztva” kifejezést használta. Matematikusnak ez egy nyom arra, hogy azonnal megkeresje a felosztás definícióját. A definíciók azok a téglák, amelyekre a matematika épül.
A felosztás definíciója (ebben az összefüggésben):
Két számot adunk meg: a és b (b \ ne 0-val), a b-vel osztott értéke c, ha c-szeres értéke b egyenlő a-val.
Tehát most már tudom, mit jelent a „osztva”. Alkalmazhatjuk-e ezt a definíciót a problémájára? Nos, a 3/4-ről kérdezed, osztva az 1/4-el. Úgy tűnik, hogy két számod van (amelyek közül a második nem nulla), és az eredményt el akarod ismerni az elsővel elosztva a másodikkal. Úgy tűnik, hogy ez a meghatározás PONTOSAN az, amire szüksége van.
Tehát most kezdődik a játék. A problémára bármilyen szám, c válasz lehet, amely \ frac 14-szer c = \ frac 34.
Íme a jó hír. Most már tudjuk, hogyan kell ellenőrizni, hogy valamilyen válasz helyes-e vagy sem. Csak 1/4-ét szorozzuk a jelölt válaszával, és ha az eredmény 3/4, akkor a jelölt válasz helyes.
Rossz hír, hogy ha a jelölt válasz NEM helyes, akkor nem állunk közelebb a a helyes válasz megtalálása. Más szavakkal, a meghatározás nem segít megtalálni a helyes választ. Ez csak abban segít, hogy ellenőrizzük, helyes-e a jelölt válasza.
Tehát mit tehetünk? A próba és tévedés örökre rossz ötletnek tűnik. Úgy tűnik, itt az ideje egy olyan szabály kidolgozására, amely mindig a helyes választ adja meg nekünk.
Javaslom ezt a szabályt. Két a és b \ ne 0 szám esetén a b-vel osztott értéknek mindig meg kell egyeznie a b kölcsönösének szorzatával (gyakran \ frac 1b jelöléssel).
Mielőtt ezt a szabályt használhatnánk, természetesen meg kell győződnünk arról, hogy mindig működik. Ezt hívjuk bizonyítéknak. A bizonyítás itt könnyű, mivel a szabály ad nekem egy jelölt megoldást, és a definíció pontosan megmondja, hogyan kell ellenőrizni a jelölt megoldást.
Igaz, hogy a \ times \ frac 1b = a osztva b-vel? Nos, a definíció azt mondja, hogy a válasz c lesz, ha c szorz b értéke megegyezik a-val. Szorozhatjuk tehát jelöltünket, a \ szor \ frac 1b-t b-vel, hogy a-t kapjunk? Mivel a szorzás kommutatív, egyértelműen megtehetjük. És a szabály bevált. (Most bebizonyítottuk az osztásról szóló első tételünket. Ha a definíciók a matematika tégláján vannak, akkor a tételek és a bizonyítások az a habarcs, amely összetartja őket, és lehetővé teszi számukra, hogy nagyszerű struktúrákat építsenek fel.)
Tehát ez Úgy tűnik, hogy a problémánkra az a válasz, hogy a 3/4-nek az 1/4-gyel elosztva egyenlőnek kell lennie a 3/4 és az 1/4 reciprok szorzatával. Nagy! Ugye?
Nos, most megosztási problémánkat két problémára változtattuk. Az egyik egy szorzási probléma. A másik: „Hogyan találom meg az 1/4 kölcsönösét?”
Feltételezem, hogy tudod, hogyan kell megszorozni a számokat, így valójában csak egy kérdésünk van a kölcsönösek megtalálásával kapcsolatban. Valójában ez csak egy újabb megosztási probléma. Tényleg, most arra kérem, hogy találjon 1-et osztva 1/4-gyel. Ez elsőre nem tűnik győzelemnek, mert visszatértem a megosztottsághoz. De azt állítom, hogy ez nyerés, mert abból kellett kitalálnunk, hogy BÁRMILYEN a-t b-vel el tudjuk osztani, és most csak 1-et kell osztani b-vel minden nem nulla b esetén. És jó hír, hogy KÖNNYEN megtanulni kitalálni a megfelelő kölcsönöset. És ha kitalálod, ellenőrizheted, mivel a meghatározás pontosan ezt mondja el neked.
Az 1/4 reciproka 4. Ellenőrizhetjük, hogy mivel a reciprok jelentése 1 osztva 1-vel / 4, és a definíció azt mondja, hogy a 4 a válasz mindaddig, amíg a 4 szorozva 1/4-gyel 1-et ad. És valóban ez igaz.
Végül megtanultuk, hogy a 3/4-et osztva 1-vel / 4 egyenlő 3/4-szer 4. És mivel tudom, hogyan kell szaporítani (például a 3/4 szám 4 példányának összeadásával), arra a következtetésre jutok, hogy a válasz 3. És ha nagyon óvatos vagyok, akkor menjen vissza és ellenőrizze az eredményt a definíció segítségével, csak hogy megbizonyosodjon arról, hogy nem hibáztam. Tehát az 1/4-et megszorozzuk a 3-val, ami egyenlő a 3/4-el? Valóban így van, így a 3-at most igazolták a helyes megoldásnak.
Ez a válasz TÉNYLEG hosszúnak és bonyolultnak tűnik – különösen a matematika egyik újoncának. Értem.Valójában sokkal gyorsabban megkapja a választ egy számológéppel vagy a Google-lal, vagy néhány olyan (számodra még nem bizonyított) technikával, amelyeket a legtöbben az iskola elején tanulnak. De egyáltalán nem ez a lényeg.
Amit valóban megtanultunk, az nem a válasz EZRE a problémába. Valójában azt tanultuk, hogy MINDENKÉT szám felosztásakor két dolgot kell tudnunk. Először tudnunk kell, hogyan osszuk el az EGYET bármilyen (nem nulla) számmal, hogy reciprokot kapjunk. Másodszor pedig tudnunk kell, hogyan kell megszorozni bármely két számot. És ez az igazság sokkal érdekesebb és mélyebb, mint a kérdésre adott válasz ismerete. Bocsásson meg a túlhasznált metaforának, de ez inkább megtanítja az embert horgászni, mintsem hogy halat adjon neki. A két szám felosztásának általánosítása pedig fontos gondolatokhoz vezet. És valójában erről szól a matematika!
Válasz
Michael Lamar válaszában nagyon jól elmagyarázza, miért fontosabb az osztás elvont fogalmának megértése matematikailag, mint a \ frac34 konkrét válasza \ div \ frac14, ezért egyenesen belemerülök az általánosításba:
Mi az a \ frac {n} {m} \ div \ frac {p} {q}?
a Mező minden nem nulla elemnek egyedi szorzata inverz a “olyan, amely
\ quad a \ -szer a” = a ” \ szorozza meg a = 1-et a multiplikatív identitáson.
Az osztás meg van határozva a szorzás szempontjából:
\ quad b \ div a \ equiv b \ times a “
A törtrész multiplikatív inverzét a törtek invertálásával adjuk meg, mert:
\ quad \ frac {p} {q} \ times \ frac {q} {p} = \ frac {p \ alkalommal q} {q \ alkalommal p} = 1 ezért \ balra (\ frac {p} {q} \ jobbra) “= \ frac {q} {p} (kivéve p = 0).
Ezért a felosztásunkat a következő adja:
\ quad \ frac {n} {m} \ div \ frac {p} {q} = \ frac {n} {m} \ szor \ frac {q} {p} = \ frac {n \ idő s q} {m \ times p}
Egy kezdő matematikus számára ez válaszol a kérdésre, legalábbis egy mező összefüggésében. Az igazi (tiszta) matematikus ekkor meg akarja tudni, hogyan tudnának tovább általánosítani.
Mások jobban érdekelni fogják az eredeti kérdésre adott konkrét választ az n = 3, m = 4, p = példányosítással. 1, q = 4:
\ quad \ displaystyle \ frac34 \ div \ frac14 = \ frac {3 \ times4} {4 \ times1} = \ frac {12} {4}
Még mindig nem meglehetősen 3, de egy kicsit több absztrakcióval eljuthatsz: egy gyakorlatot, amelyet az érdeklődő olvasónak hagyok. p> Egyébként annak a kezdő matematikusnak érdemes ellenőriznie, hogy a véges mezőben \ mathbb F\_5 van-e:
\ quad \ frac34 \ div \ frac14 = \ frac12, mert \ frac34 \ equiv2, \ frac14 \ equiv4 és \ frac12 \ equiv3