Legjobb válasz
A racionális számok viszonylag egyértelműek. Rendezett egészek (m, n) párok, n \ neq0-val az ekvivalencia-reláció alatt:
\ quad (a, b) \ equiv (c, d) \ Baloldali nyíl ad = bc
Mit? Állítólag ez egyértelmű volt? Nos, igen. Ennyi ekvivalencia gobbledygook csak annak biztosítása volt, hogy a fele fele legyen (1,2) vagy (2,4) vagy akár (-33, -66). És mindez ismertebbnek tűnik, ha azt írnám, hogy \ frac12 = \ frac24, mint (1,2) \ equiv (2,4), mert 1 \ alkalommal4 = 2 \ alkalommal2. De szigorúan véve ez az, amivel a racionális számok szigorú meghatározása kezdődik.
Most, hogy az egyszerű dolgokkal foglalkozunk, mi is az a valós szám? Nevük és mindenütt jelenlétük ellenére a valós számok inkább bonyolult vadállatok. Talán a legegyszerűbb konstrukció, amely megérzéseink szerint leképezhető, a Dedekind vágások . A Rational számok Dedekind vágása, \ Q, két részre osztva nem üres halmazok (A, B) olyanok, hogy A \ csésze B = \ Q, A minden eleme szigorúan kevesebb, mint B minden eleme, és A-nak nincs legnagyobb eleme. Tudom, hogy a fejed már forog, de a A ötlet nagyon egyszerű: csak egy ponton vágjuk a számegyeneset – az összes baloldali racionalitás A-ban, és minden racionális jobb oldalon (vagy a pont) B-ben van. Ha B-nek van egy legkevesebb eleme, akkor a vágásunk Racionális szám volt. Ha B-nek nincs a legkevesebb eleme, akkor a vágásunk egy Irracionális szám. A következők képviselik s a Dedekind kivágása kettő négyzetgyökéhez (irracionális szám):
(Forrás: Fájl: Dedekind kivágás – négyzetgyök a kettőből.png – Wikipédia )
A kivágás (A, B) akárhogy is, valós számot képvisel. Mivel B = \ Q \ setminus A, önmagában A valós számot képviselhetünk: Rational számok nem üres halmaza, amely lent van bezárva és nincs legnagyobb eleme. Bizonyos értelemben az irracionális valós számok kitöltik a “réseket” a racionális számokban.
A “hézagok” ezen intuíciójának egyik problémája az, hogy a racionális számok sűrűek az Reals-ben – bármely két különböző valós szám között. van Racionális (valójában végtelen sok Racionális). Ez lehet arra késztetni, hogy úgy gondolja, legalább annyi Racionális szám van, mint Irracionális szám. De nem, az irracionális számok halmazának kardinalitása szigorúan nagyobb, mint a racionális számok halmazának. Valahogy a Racionális számok A halmazának „végén” lévő valós számához számos más valós szám csatlakozik, amelyeket nem nagyon tudok leírni az A halmaz kapcsán. Mint mondtam, a valós számok bonyolult vadállatok: a legtöbb közülük még vélt “valóságuk” ellenére sem lehet leírni.
utalok a racionális számok és a valós közötti alapvető különbségre számok, amelyek megértéséhez valóban matematikai végzettség szükséges, de remélem, hogy legalább megízleli a különbséget, ha nem a finomságok teljes megítélését.
Válasz
A valós számok a racionális számok közötti számok. Mit jelent valójában ez az állítás?
Tekintsük a 2 négyzetgyökét. Megmutatható, hogy nem racionális. De megtudhatjuk, hogy mi az értéke, bármilyen pontossággal, azonosítva az összes ésszerűbbet, és a nála magasabb értelmet. Két racionális számkészlet között van.
Ez minden valós számra igaz – hacsak nem is racionális. Bármely valós szám esetén létezik egy racionális számkészlet, amely kisebb vagy egyenlő vele, és egy másik racionális halmaz, amely nagyobb vagy egyenlő vele, és minden racionális e két halmaz egyikében vagy másikában található. . A racionálisok ilyen típusú felosztása a kulcs a valós számok racionálisból Dedekind-vágások segítségével történő összeállításához.
Tekintsünk két racionális számkészletet, L (alacsonyabb) és H (magasabb), úgy, hogy H-ban minden szám magasabb, mint L-ben, és a két halmaz együtt minden racionális számot tartalmaz. Tudjuk, hogy minden valós számra léteznek ilyen L és H halmazok, amelyeket algebrailag kiszámíthatunk, de nem ezek az egyetlen ilyen halmazok.
Általában L-nek lehet a legmagasabb száma, Lmax ,, vagy H lehet, hogy a legalacsonyabb száma Hmin. Ezekben az esetekben Lmax vagy Hmin lenne L felső határa és H alsó határa, és ésszerű lenne. Ha sem az Lmax, sem a Hmin nem létezik – és tudjuk, hogy nem is lesznek, ha egy ismert irracionális számból hoztuk létre a halmazokat – akkor L felső határát (ami egyben H alsó határa is) valós számként definiáljuk.
Valójában minden alkalommal, amikor irracionális számot tizedes törttel közelítünk, létrehozunk egy ilyen partíciót. Például, ha azt mondjuk, hogy irracionális szám 1,2345…, akkor azt mondjuk, hogy nagyobb, mint 1,2345, de kevesebb, mint 1.2346, és mivel több számot írunk a tizedes kiterjesztésbe, több számot adunk a halmazokhoz, amelyek nagyobbak és kisebbek.
Ezekkel a tizedes kiterjesztésekkel fontos különbséget vonhatunk le a racionális számok és a valós számok. A racionális számok számlálhatók ; vagyis egy az egyben megfeleltethetők az egész számokkal. A valós számokat nem lehet megszámolni.
Mi a különbség a valós és a racionális számok között?