Legjobb válasz
A “pontkészlet” kifejezésnek nincs szokásos matematikai definíciója, ha jól tudom. Az “Legyen X ponthalmaz” kifejezés értelmetlen. A “pontkészlet topológiában” a “pontkészlet” kifejezés a “topológiát” módosító melléknév, szemben az “algebrai topológiával” vagy “differenciál topológiával”.
- A ponthalmazú topológia lényegében halmazelméleti szempontból vizsgálja a potenciálisan kóros topológiai tereket.
- Az algebrai topológia homológiai algebra segítségével elemzi a megfelelően szép folytonos tereket.
- A differenciál topológia számológépet használ a sima terek tanulmányozásához.
A topológia „point-set” módosítója tehát azt jelzi, hogy potenciálisan olyan környezetben dolgozik, ahol a szóközök vannak nem folytatható folyamatos vagy differenciálható módszerekkel.
Válasz
Egy sor úgy gondolható, hogy pontot, de nem vagyok biztos benne, hogy ez a legjobb módszer a gondolkodásra. És biztos vagyok benne, hogy kerülje azt, hogy egy vonal “pontokból áll”, mert egyik sem alapvetőbb, mint a másik.
Az axiomatikus geometriában a vonalak és a pontok különálló alapvető entitások. Két vonal metszik egymást egy pontban, és az adott vonalon szigorúan elkülönülnek a pontok. A projektív geometria érdekes vonása a pontok és vonalak közötti szimmetria: formális kettősség van közöttük. Ez a kijelentés arról, hogy két vonal találkozik egy pontban, formailag egyenértékű a kettősével – két pont határoz meg egy vonalat. A kettős nézetben egy pont “vonalakból áll”.
Ami a vonal pontjainak kardinalitását illeti: ez az engedélyezett konstrukcióktól függ. A hagyományos “jelöletlen vonalzó és iránytű” használatával csak megszámlálható számú pont érhető el egy vonalon. A pontsorozatok korlátainak megengedésével általában elérhetjük a valós szám vonal bármely pontját, amelynek megszámlálhatatlan a kontinuum kardinalitása. De nincs különösebb ok arra, hogy megálljon: megalkothatjuk mondjuk a szürreális számegyeneset, ahol a különféle pontok végtelenül közel lehetnek, és ezek közül rendszertelenül sok van (a megszámlálhatatlanon túl).