A legjobb válasz
Igen.
A háromszögön kívül fekszik.
H a \ Delta ABC ortocentruma.
Vegye figyelembe azt is, hogy \ bar {AH} \ bot \ bar {BC}; \ bar {BH} \ bot \ bar {CA}; \ bar {CH} \ bot \ bar {AB}
Válasz
Hogyan találja meg a háromszögön kívül fekvő, tompaszögű háromszög kerületét és ortocentrumát? vektorok és mátrixok használatával.
Bevezetés:
Ez kevéssé érintett, így nem lesz tetszőleges szóköz a számítások megjelenítésére.
Mondjuk azt, hogy van egy háromszögünk, amelynek A, B és C csúcsa van, és hogy ellenkező oldaluk hossza a, b, illetve c.
Három vektort definiálunk: \ vec {u} = \ left (BA \ right), \ vec {v} = \ left (CA \ right) és \ vec {w} = \ vec {u } – \ vec {v} = \ bal (BC \ jobb).
Most bűn A ce vektorok mátrixok, használhatunk olyan mátrix formátumot, ahol a T egy vektor után azt jelenti, hogy transzponálódik. Tehát \ vec {u} ^ {T} \ vec {u} = c ^ {2}, \ vec {v} ^ {T} \ vec {v} = b ^ {2} és \ vec {w} ^ {T} \ vec {w} = a ^ {2}. Ezek valójában ponttermékek.
Az összetévesztés elkerülése érdekében a \ vec {u} ^ {T} \ vec {u} = u ^ {2}, \ vec {v jelöléseket is használom. } ^ {T} \ vec {v} = v ^ {2} és \ vec {w} ^ {T} \ vec {w} = w ^ {2}. Tehát, u \ equiv c, v \ equiv b , és w \ equiv a. Egy kalapot is használok egy egységvektor ábrázolására, amely csak egy vektor, amelyet elosztunk a saját hosszúságával, és amelynek hossza így 1. Például \ frac {\ vec {u} ^ {T} \ vec {v}} {uv} \ equiv \ hat {u} ^ {T} \ hat {v}.
Transzformációs mátrix:
Most definiálunk egy transzformációs mátrixot. Ha 2 dimenzióban dolgozik, akkor 2×2 mátrix lesz, ha pedig 3 dimenzióban dolgozik, akkor 3×3 mátrix lesz. Vegye figyelembe, hogy a \ theta\_ {A} a \ vec {u} és a \ vec {v} közötti szög, amely az A csúcs szöge.
\ quad R = \ frac {v ^ {2} \ vec {u} \ vec {u} ^ {T} -u ^ {2} \ vec {v} \ vec {v} ^ {T}} {u ^ {2} v ^ {2} – \ left ( \ vec {u} ^ {T} \ vec {v} \ right) ^ {2}} = \ frac {\ hat {u} \ hat {u} ^ {T} – \ vec {v} \ vec {v } ^ {T}} {1- \ left (\ hat {u} ^ {T} \ hat {v} \ right) ^ {2}} = \ frac {\ hat {u} \ hat {u} ^ { T} – \ hat {v} \ hat {v} ^ {T}} {\ sin ^ {2} \ theta\_ { A}}
A transzformációs mátrixot használjuk egy másik vektor meghatározásához.
\ quad \ vec {r} = \ frac {v ^ {2} \ left (\ vec {u } ^ {T} \ vec {w} \ right) \ vec {u} -u ^ {2} \ left (\ vec {v} ^ {T} \ vec {w} \ right) \ vec {v}} {u ^ {2} v ^ {2} – \ bal (\ vec {u} ^ {T} \ vec {v} \ jobb) ^ {2}} = R \ vec {w}
Képletek:
Legyen H az ortocentrum, amely a háromszög mindhárom magasságának metszéspontja. Az egyes csúcsoktól egy olyan magasság fut, amely merőleges a szemközti lábára.
Legyen Q a kerülete, amely egy pont, ahol a háromszög mindhárom oldalának merőleges felezői metszenek. Ez a kör közepe, amely egy kör, amely magában foglalja a háromszög mindhárom csúcsát.
Most, némi munkával, most arra lehet következtetni, hogy
\ quad \ kezdődik {tömb} {l} H = \ vec {A} + \ bal (\ vec {u} + \ vec {v} \ jobb) – \ vec {r} \\ Q = \ vec {A} + \ frac {1} {2} \ vec {r} \ end {tömb}.
Ha az említett háromszög csúcsait vektorként használjuk, ezeket szimmetrikus képletekké alakíthatjuk át.
\ begin {tömb} {l} H = \ bal (\ vec {A} + \ vec {B} + \ vec {C} \ jobb) – \ frac {a ^ {2} \ bal (-a ^ {2 } + b ^ {2} + c ^ {2} \ right) \ vec {A} + b ^ {2} \ left (a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2} \ right) \ vec {B} + c ^ {2} \ balra (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} \ jobbra) \ vec {C}} {\ balra (a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2} \ jobbra) – \ frac {1} {2} \ balra (a ^ {4} + b ^ { 4} + c ^ {4} \ jobbra)} \\ Q = \ vec {A} + \ dfrac {1} {2} \ frac {a ^ {2} \ balra (-a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} \ jobbra) \ vec {A} + b ^ {2} \ balra (a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2} \ jobbra) \ vec {B } + c ^ {2} \ balra (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} \ jobbra) \ vec {C}} {\ balra (a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2} \ jobbra) – \ frac {1} {2} \ balra (a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4} \ right)} \ end {tömb}
Ne feledje, hogy nincsenek négyzetgyökek és nincs trigonometria szükséges a két központ megtalálásához.