Beste Antwort
Ich werde dies so präsentieren, als ob alle zustimmen, was nicht wirklich wahr ist.
Jede Zahl, real oder komplex, hat zwei Quadratwurzeln, die Negationen voneinander sind. Die Ausnahme ist Null, was eine eigene Negation ist.
Die Domäne der Quadratwurzel kann die reellen Zahlen oder die komplexen Zahlen sein, und die Konventionen unterscheiden sich geringfügig. Konzentrieren wir uns zuerst auf die Quadratwurzel reeller Zahlen.
Das radikale Vorzeichen \ sqrt {x} bei Anwendung auf eine reelle Zahl bezeichnet das Prinzipal oder positive Quadratwurzel. Wenn x \ ge 0, dann \ sqrt {x} \ ge 0. Um die Frage mit Qualifikationen zu beantworten, ist die Hauptquadratwurzel einer positiven Zahl per Definition immer positiv.
Die Hauptquadratwurzel von ein negativer Real ist ein positiver Real i. Obwohl die komplexen Zahlen nicht geordnet sind, gibt es auf der imaginären Achse eine wichtige Reihenfolge analog zu der auf der realen Achse.
Wenn wir von „der Quadratwurzel“ sprechen, beziehen wir uns normalerweise auf die Hauptquadratwurzel. Wenn wir von „einer Quadratwurzel“ sprechen, meinen wir entweder. In dieser Frage liefert das OP keinen Artikel, daher hier keine Hilfe.
Wenn es sich um Quadratwurzeln reeller Zahlen handelt, ist es sehr wichtig, dass wir
\ sqrt verstehen {x} \ ne \ pm \ sqrt {x}
Wenn die Domäne real ist, ist \ sqrt {x} eine Funktion von reellen Zahlen bis komplex. Es nimmt für jedes reelle x einen einzigen eindeutigen Wert an. Es ist immer entweder 0, eine positive reelle Zahl oder eine positive reelle Zahl mal i. Es ist die eine der beiden Quadratwurzeln, die als Hauptquadratwurzel definiert wurde.
Sofern keine Hauptwerte explizit angefordert werden, sollte die Quadratwurzel einer komplexen Zahl \ sqrt {z} als a behandelt werden mehrwertiger Ausdruck. Hier würde ich also \ sqrt {z} = \ pm \ sqrt {z} sagen.
Wenn wir explizit den mehrwertigen Ausdruck wollen, bezieht sich der Ausdruck auf beide Quadratwurzeln, entweder w, so dass w ^ 2 = z. Ich bevorzuge \ pm \ sqrt {z}. Aber \ pm kann verwirrend und mehrdeutig werden, so dass es in beide Richtungen gehen kann.
Umstrittener behandle ich die reziproke natürliche Zahl als Exponenten, z ^ {\ frac 1 2}, als den mehrwertigen Ausdruck, der sich bezieht für alle Wurzeln keine Funktion.
Genau das, was Gleichheit mehrwertiger Ausdrücke bedeutet, wird normalerweise beschönigt, insbesondere das lästige Problem, dass 1 ^ {\ frac 1 2} \ ne 1 ^ {\ frac 2 4} . Vielleicht.
Antwort
Hmm, das ist schwierig … Also, hier ist:
Die Quadratwurzel ist eine mathematische Funktion, und ihre Der tatsächliche Name ist eine positive Quadratwurzelfunktion, die offensichtlich alle + ve Werte ergibt. Der Grund für diese Unterscheidung ist, dass in einer mathematischen Funktion f (x, y) für jeden Wert von x eine eindeutiger Wert von y. Daher kann die Quadratwurzel von 4 per Definition nicht +2, -2 sein! Daher nehmen wir normalerweise nur die Quadratwurzelfunktion als positiv an.
Dies führt zu großer Verwirrung, da das Quadrat von +2 und -2 4 ist. Die Quadratwurzel von 4 kann jedoch nur den Wert +2 annehmen, aber ich denke, das ist die Menge von Regeln, an die wir uns halten. Denken Sie gerne an ein anderes System, bei dem die Quadratwurzelfunktion sowohl die Werte + ve als auch -ve angibt, obwohl ich mir vorstellen kann, dass dies irgendwo auf der Straße zu massiven Störungen führen würde Mathe experimentiert!