Migliore risposta
Una volta insegnavo matematica ad alcuni studenti delle scuole medie in unesclusiva scuola privata. Avevo uno studente che era arrogante e infastidiva costantemente me e gli altri studenti. Lamministrazione non era favorevole ai miei tentativi di disciplinarlo. Ho trovato questa soluzione:
Gli ho detto che se poteva trovare uno schema per i numeri primi, in modo da poter prevedere il prossimo, avrebbe potuto fare molti soldi ed essere famoso. Gli piaceva questa sfida e iniziò a dedicarsi ad essa. Aveva pagine e pagine di calcoli e non mi ha mai più infastidito. Ogni tanto mostravo un certo interesse per il suo lavoro e lui diceva qualcosa del tipo: “Penso di aver capito qualcosa …”
Sapevo che non avrebbe trovato nulla, perché sapevo che non esiste uno schema per i numeri primi. Potrebbero esserci alcune aree locali in cui sembra che ci sia uno schema, ma non esiste uno schema generale e nessuna formula per prevedere il numero primo SUCCESSIVO senza TEST.
Pensala in questo modo. Sei un uomo del Paleolitico che capisce che 2, 3, 5, 7, 11 e 13 sono primi. Ti chiedi quale sarà il prossimo numero primo. Non cè modo di trovarlo senza alcuni test. Puoi provare 14. No. 15, No. 16, No. 17, Bingo.
Devi solo testare i fattori fino alla radice quadrata del numero inclusa (nel caso di 17: 2, 3 e 4) perché il numero successivo sarà troppo grande, ma devi TEST. Questo test richiede un LUNGO TEMPO di calcolo. Questa è lattuale base della crittografia. Se potessimo prevedere il numero primo successivo, tutte le nostre password sarebbero nude.
I matematici sembrano odiare ammettere che cè questo CAOS nel mezzo dei numeri, ma cè, e lo trovo adorabile.
Come faccio a sapere che non esiste un pattern?
Pattern: (definizione del dizionario) • un arrangiamento o una sequenza che si trova REGOLARMENTE in oggetti o eventi comparabili. • una forma o sequenza REGOLARE e intelligibile distinguibile in determinate azioni o situazioni.
Quindi un MODELLO implica REGOLARITÀ o RIPETIZIONE. RIPETIZIONE implica MOLTIPLICAZIONE perché MOLTIPLICAZIONE è AGGIUNTA RIPETITIVA. La moltiplicazione implica FATTORI e non possiamo avere fattori se è primo.
Calcola: (definizione) determina matematicamente (la quantità o il numero di qualcosa). Non determiniamo se un numero è primo MATEMATICAMENTE. Lo facciamo SPERIMENTALMENTE.
Penso che i numeri primi non abbiano un PATTERN ma sembrano avere determinate TENDENZE. TENDONO a diventare più RISPARMI con laumentare delle quantità, ma poi allimprovviso … ne vedete due insieme. Questi sono chiamati numeri primi gemelli. Esempi: (41, 43), (137, 139). Nessuno sa se i numeri primi gemelli, come i numeri primi, sono infiniti. Non è stato dimostrato.
Wikipedia: “Lattuale più grande coppia di gemelli primi conosciuti è 2996863034895 · 2 ^ 1290000 ± 1 con 388.342 cifre decimali. È stato scoperto nel settembre 2016 “. Prime gemelle – Wikipedia
Come con i numeri primi stessi, non cè modo di prevedere quando arriveranno questi numeri primi gemelli lungo. (POTREBBE essere possibile provare se finiscono mai. Provalo.)
Alcune persone pensano che ci siano “schemi” nella Spirale di Ulam. Ulam spirale – Wikipedia
TUTTAVIA, se scarichi la figura e la fai saltare in aria, vedrai emergere delle linee rette che poi SCOMPARIRANNO. I numeri primi sono infiniti. Quindi, naturalmente, statisticamente (nel nostro sistema ARBITRARIO Base 10) alcune linee rette appariranno a volte, come quando lanci le monete a volte otterrai una grande serie di teste.
(Inoltre, la spirale di Ulam usa i quadrati. Penso che apparirà una spirale diversa se usi altre forme di riempimento dellarea: triangoli o esagoni.
La scienza consiste nel trovare modelli per prevedere. Possiamo prevedere quando sarà la prossima eclissi lunare, possiamo prevedere quando sorgerà il sole domani, possiamo prevedere quando lacqua gelerà e bollirà, ma NON POSSIAMO prevedere il prossimo numero primo.
Riepilogo: potresti essere in grado di raccogliere il serpente, ma non sai in che direzione si attorciglierà.
Nota: questa risposta è principalmente in base alla mia precedente risposta qui:
La risposta di Bill Lauritzen a Cè un premio per chi scopre lo schema in numeri primi?
Risposta
È vero che la distribuzione dei numeri primi può sembrare casuale (e lo è in una certa misura). Tuttavia, gli strumenti della teoria analitica dei numeri ci danno una visione cruciale della distribuzione dei numeri primi e rivelano molti modelli interessanti
Sia \ pi (x) il numero di numeri primi \ leq x dove x è una variabile reale positiva.
Secondo il teorema dei numeri primi , di cui non conosco una bella dimostrazione elementare (la più semplice che conosco usa lanalisi complessa), quanto segue è vero per \ pi (x) quando x si avvicina allinfinito:
\ pi (x) \ sim \ frac {x} {\ log x}
Il ~ rappresenta asintotico equivalenza, lidea principale della quale è che la funzione \ pi (x) si avvicina molto alla funzione \ frac {x} {\ log x}, con lapprossimazione che migliora sempre di più man mano che x diventa sempre più grande.
Per chi ha familiarità con il calcolo elementare, f (x) \ sim g (x) se il limite per x si avvicina allinfinito di \ frac {f (x)} {g (x)} è 1.
Come al solito nella matematica superiore, log rappresenta il logaritmo naturale. Ciò implica anche che se p (n) rappresenta ln-esimo numero primo, allora:
p (n) \ sim n \ log (n)
Un altro semplice collorario è che se scegli un numero intero casuale dai primi n numeri interi positivi, la probabilità che sia primo è circa \ frac {1} {\ log n}
Unaltra forma del teorema dei numeri primi che è leggermente meno intuitiva ma empiricamente più accurato è il seguente:
\ pi (x) \ sim \ int\_2 ^ x \ frac {1} {\ log t} dt
In entrambi i casi, la sinistra lato è un numero intero mentre il lato destro è unorribile funzione trascendentale (che possiamo valutare un po più facilmente della sinistra abbastanza stranamente). In ogni caso, ci deve essere qualche errore se approssimiamo \ pi (x) come \ int\_2 ^ x \ frac {1} {\ log t} dt
Non conosco ancora il miglior limite di errore provato, ma se lipotesi di Riemann si rivela vera, possiamo migliorare il errore associato a:
\ pi (x) = \ int\_2 ^ x \ frac {1} {\ log t} dt + O (\ sqrt {x} \ log (x))
Allo stesso modo, se il limite di errore è vero, possiamo anche provare il Riemann ipotesi. Il problema di questo limite di errore è che è stretto: sappiamo che non possiamo fare di meglio.
Direi che il teorema dei numeri primi è probabilmente il risultato più importante e interessante nella teoria analitica dei numeri
tl; dr, i numeri primi seguono asintoticamente una distribuzione che è come una funzione analitica relativamente semplice, quindi sì, cè uno schema.