Migliore risposta
Nota i cerchi chiusi e aperti. Il cerchio aperto su un valore y significa che non è un valore della funzione quando si collega x. Ad esempio, f (−1) = – 4 poiché è lì che si trova il cerchio pieno. Inoltre, f (3) non è definito poiché non esiste un cerchio pieno in x = 3. Ma per quanto riguarda i limiti?
Dallimmagine sopra, vediamo che limx → 3 − f (x) = 2 e limx → 3 + f (x) = 2 quindi limx → 3f (x) = 2 anche se f (3) non è definito! Di nuovo, non importa cosa sta succedendo quando x = 3 solo ciò che sta accadendo vicino a quel valore!
Tuttavia, limx → −1 − f (x) = – 4 e limx → −1 + f (x) = 2. Pertanto, limx → −1f (x) non esiste, anche se f (−1) = – 4.
Risposta
I punti aperti (vuoti) non sono definiti nel punto dato , mentre i punti chiusi (pieni) sono definiti nel punto dato. Ciò significa che al valore x corrispondente, esiste un valore y per la funzione nel punto se il punto è chiuso.
x = 5 è un punto di discontinuità in questa funzione, perché sia aperto che esistono punti chiusi in x = 5 con valori y diversi. Spesso, questo è un segno di una funzione a tratti. Al punto chiuso, x = 5 e y esistono. Tuttavia, nel punto aperto, x = 5 e y è definito in un punto diverso da quello che suggerirebbe il limite intorno a x = 5.
Un limite a doppia faccia a x = 5 può ancora essere preso nonostante questo discontinuità. Possono essere presi limiti unilaterali da sinistra e da destra. Produrranno gli stessi risultati luno dellaltro, motivo per cui si può prendere un limite a doppia faccia.
Questo è un esempio di discontinuità rimovibile perché il limite esiste, ma la funzione non lo è continuo perché il limite non è uguale al valore effettivo della funzione. Queste discontinuità possono spesso derivare da funzioni razionali che altrimenti assomigliano a polinomi.