Migliore risposta
Da un punto di vista probabilistico teorico, un campo casuale è una famiglia di variabili casuali indicizzate da una varietà.
Mi spiego:
Un processo stocastico è una famiglia di variabili casuali \ {X (t) \} \_ {t \ in T}, dove per ogni t, X (t) è una variabile casuale e t varia nellinsieme T chiamato insieme di indici. Teoricamente, la definizione non pone alcuna restrizione sullinsieme di indici T, può essere qualsiasi insieme. Tuttavia, quando diciamo processo stocastico, il 99\% delle volte stiamo effettivamente pensando t come tempo, quindi T deve essere la linea reale o linsieme di numeri interi o una parte di essi.
Quando questo è non è il caso, più comunemente, quando T è effettivamente uno spazio euclideo di dimensione superiore o una parte di esso, o qualcosa del genere (una “varietà”), allora \ {X (t) \} \_ {t \ in T} è chiamato un campo casuale. Lidea è che poiché lindice non è più unidimensionale, non possiamo pensarlo come tempo, quindi lo pensiamo come spazio. Di conseguenza, non otteniamo un “processo”, otteniamo un “campo”. Quindi ciò che otteniamo è una superficie casuale o una funzione multivariata casuale.
Risposta
Una variabile casuale è definita come misurabile funzione
X: \ Omega \ mapsto \ R
Dove \ Omega è uno Spazio delle probabilità – Wikipedia .
Non preoccuparti troppo della parte “misurabile”; il punto principale che voglio sottolineare è che, in particolare in matematica e fisica, cè una sorta di equivalenza tra funzioni e variabili .
Ad esempio, una forma comunemente usata della regola della catena da Calculus dice:
\ frac {dy} {dx} = \ frac {dy} {du} \ frac { du} {dx}
ma questo ha senso solo se y è implicitamente una funzione di u e u è implicitamente una funzione di x. Inoltre, sul lato sinistro, y in realtà (e implicitamente) rappresenta la funzione composta y = y (u (x)).
Si vede sempre questo tipo di notazione funzione come variabile nelle equazioni differenziali. Ad esempio, quando qualcuno scrive unequazione differenziale come
y “= y
è” semplicemente capito che y è una funzione su un dominio non specificato, ad esempio y = y (x), e che y “rappresenta la funzione \ frac {dy} {dx} e il = sign significa uguaglianza di funzioni. È “un sacco di impostazioni incorporate in quella notazione!
Lo sto menzionando perché le variabili casuali funzionano esattamente allo stesso modo. Scriviamo X, ma questo simbolo si riferisce a una funzione X (\ omega). Una variabile casuale è una funzione il cui dominio è uno spazio di probabilità. Lo spazio di probabilità non è quasi mai esplicito nella notazione, ma deve essere definito nel contesto.
Per quanto riguarda il motivo per cui è chiamato “casuale”, questa è solo la parola che usiamo per le cose che dipendono da uno spazio di probabilità. Se dico “conta 1 per testa, -1 per croce”, ho definito entrambi uno spazio di probabilità \ Omega = \ {testa, croce \} (presumibilmente con il distribuzione uniforme) e una variabile casuale X (testa) = 1, X (croce) = – 1. Il simbolo X non denota un numero reale, ma piuttosto una funzione con un dominio “casuale”, dove “casuale” può essere vagamente definito come “avente una distribuzione nota dei risultati”.