Migliore risposta
Il termine “insieme di punti” non ha una definizione matematica standard, per quanto ne so. La frase “Sia X un insieme di punti” è priva di significato. Nella “topologia dellinsieme di punti” la frase “insieme di punti” è un aggettivo che modifica “topologia”, in opposizione a “topologia algebrica” o “topologia differenziale”.
- La topologia puntuale studia spazi topologici potenzialmente patologici da un punto di vista essenzialmente insiemistico.
- La topologia algebrica utilizza lalgebra omologica per analizzare spazi continui adeguatamente piacevoli.
- La topologia differenziale utilizza il calcolo per studiare gli spazi uniformi.
Il modificatore “point-set” della topologia indica quindi che stai potenzialmente lavorando in un contesto in cui i tuoi spazi sono non suscettibile di studio tramite metodi continui o differenziabili.
Risposta
Una riga può essere pensata come composta da punti ma non sono sicuro che sia il modo migliore per pensarci. E sono abbastanza sicuro che dovresti evitare di dire che una linea è “composta da” punti, perché nessuna delle due è più fondamentale dellaltra.
Nella geometria assiomatica le linee ei punti sono entità fondamentali distinte. Due linee si intersecano in un punto e cè un rigoroso ordine di punti distinti su una determinata linea. Una caratteristica interessante della geometria proiettiva è la simmetria tra punti e rette: tra di loro esiste una dualità formale. Laffermazione su due linee che si incontrano in un punto è formalmente equivalente al suo duplice: due punti definiscono una linea. Nella doppia vista, un punto è “composto da” linee.
Per quanto riguarda la cardinalità dei punti su una linea: questa dipende dalle costruzioni che si consentono. Con il tradizionale “righello e compasso non contrassegnati” cè solo un numero numerabile di punti che possiamo raggiungere su una linea. Consentendo limiti di sequenze di punti in generale, possiamo raggiungere qualsiasi punto sulla retta del numero reale, che ha la cardinalità non numerabile del continuum. Ma non cè un motivo particolare per fermarsi qui: possiamo costruire, diciamo, la linea numerica surreale in cui punti distinti possono essere infinitesimamente vicini e ce ne sono molti non impostati (oltre innumerevoli!).