Migliore risposta
Due quantità sono nella sezione aurea se il loro rapporto è lo stesso del rapporto tra la loro somma e la maggiore delle due quantità.
Ora, se lasciamo che aeb (b> a) siano due quantità nel rapporto aureo,
\ dfrac {b} {a} = \ dfrac {a + b} {b} \ overset {\ mathrm {def} ^ n} {=} \ varphi \ tag * {}
\ dfrac {b} {a} = \ dfrac {a} {b} +1 \ tag * {}
\ dfrac {b} {a} = \ dfrac {1} {\ frac {b} {a}} + 1 \ tag * {}
\ varphi = \ dfrac {1} {\ varphi} +1 \ tag * {}
\ varphi ^ 2- \ varphi-1 = 0 \ tag * {}
La formula quadratica rivela che,
\ varphi = \ dfrac {1+ \ sqrt {5}} {2} \ approx 1.618 \ tag * {}
(Laltra soluzione fornisce \ frac {a} {b} o \ varphi ^ {- 1} )
Come altri hanno già detto, anche il rapporto tra due numeri di Fibonacci consecutivi si avvicina a \ varphi.
Infatti per ogni sequenza che soddisfa la relazione di ricorrenza (con valori seed A\_0, A\_1 non entrambi 0 perché diventerebbe una sequenza costante ),
A\_n = A\_ {n-1} + A\_ {n-2} \ tag * {}
Il limite di \ dfrac {A\_n} {A\_ {n-1}} quando n \ a 0 si avvicina a \ varphi .
Questo può essere dimostrato lasciando che L sia il limite,
L = \ lim \ limits\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {A\_n} {A\_ {n-1 }} \ tag * {}
Utilizzando la ricorrenza,
L = \ lim \ limits\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {A\_ {n-1} + A\_ { n-2}} {A\_ {n-1}} \ tag * {}
L = 1 + \ lim \ limits\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {A\_ {n-2}} {A\_ {n-1}} \ tag * {}
L = 1 + \ lim \ limits\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {1} {\ frac {A\_ {n-1} } {A\_ {n-2}}} \ tag * {}
L = 1 + \ dfrac {1} {L} \ tag * {}
Ancora una volta moltiplicando per con L e usando la formula quadratica puoi dimostrare che
L = \ varphi \ tag * {}
Risposta
Costruzione con compasso e righello
Scott Beach ha sviluppato un modo per rappresentare questo calcolo del phi in una costruzione geometrica:
Come condivide Scott su il suo sito web: Triangle ABC è un tria destro ngle, dove la misura dellangolo BAC è di 90 gradi. La lunghezza del lato AB è 1 e la lunghezza del lato AC è 2. Il teorema di Pitagora può essere utilizzato per determinare che la lunghezza del lato BC è la radice quadrata di 5. Il lato BC può essere esteso di 1 unità di lunghezza per stabilire il punto D. Il segmento di linea DC può quindi essere bisecato (diviso per 2) per stabilire il punto E. La lunghezza del segmento di linea EC è uguale a Phi (1.618…).
Phi nomenal!
Fonte: http://www.goldennumber.net/phi-formula-geometry/