Risposta migliore
Il “perimetro” di qualsiasi forma chiusa è semplicemente la somma delle lunghezze di tutti i suoi confini. Un “settore” (di un cerchio) è delimitato da un arco e due raggi, quindi il perimetro è due volte il raggio (r) più la lunghezza dellarco. Larco è una frazione della circonferenza del cerchio, che è due pi volte il raggio.
Pertanto, tutto ciò che dobbiamo sapere è il raggio e la frazione della circonferenza (2 * pi * r) sottesi dallarco. Quella frazione è uguale a qualsiasi frazione dellarea del cerchio occupata dal settore, che è la stessa di qualsiasi frazione langolo centrale estrae da 360 gradi (o 2 pi radianti).
Se il centro langolo (nel punto del settore) è “theta”, quindi larco è la circonferenza (pi * 2 * r) moltiplicata per la frazione composta da theta-gradi / 360-gradi (o theta-radianti / 2-pi radianti) .
Ad esempio, se theta è di 90 gradi, larco è un quarto del cerchio, con una lunghezza di: (1/4) * 2 * pi * r, quindi il perimetro è quella lunghezza dellarco più 2 * r (per i lati formati dai raggi).
Se theta è pi / 6 radianti (30 gradi), la lunghezza dellarco è (30/360) * 2 * pi * r, quindi il perimetro del settore è = r * [2 + pi / 6].
Le formule generali per il perimetro di un settore, con theta espresso in gradi sarebbero:
- [2 + (2 * pi) * theta (gradi) / 360] * r
Se theta è espresso in radianti, la formula diventa:
- [2 + theta ( radianti)] * r
Risposta
Vogliamo la formula per il perimetro di un segmento di un cerchio.
Considera il segmento ABC di un cerchio con centro O di raggio r.
Sia \ angle AOB = \ theta.
\ Rightarrow \ qquad La lunghezza dellarco ACB = r \ theta.
\ triangle AOB è isoscele.
\ Rightarrow \ qquad La proiezione di OA e OB su AB è r \ sin \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right).
\ Rightarrow \ qquad La lunghezza della corda AB = 2r \ sin \ left (\ frac {\ theta} {2} \ destra).
Il perimetro del segmento ABC è la somma della lunghezza dellarco ACB e della corda AB.
\ Rightarrow \ qquad Il perimetro del segmento ABC = r \ theta + 2r \ sin \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right).