Migliore risposta
George Gamow spiega come Galileo sia arrivato a questa formula nel suo libro “Gravity”.
Galileo stava studiando i corpi in caduta. Voleva conoscere la relazione matematica tra il tempo impiegato dalla caduta di un oggetto e la distanza percorsa. Così ha fatto un esperimento.
Ha costruito un piano inclinato. Quindi ha lasciato rotolare giù per laereo le sfere di materiali diversi (non le ha spinte). Ha misurato le distanze percorse dalla palla alla fine del 1 °, 2 °, 3 ° e 4 ° secondo. Avrebbe potuto organizzare direttamente la caduta libera della palla. Ma la caduta libera è abbastanza veloce e allepoca non aveva buoni orologi. Eseguendo un esperimento su un piano inclinato, ha ridotto la forza di gravità che agisce sulla palla e aumentato il tempo per raggiungere il fondo che dipende dalla pendenza del piano inclinato. La figura seguente spiega questo:
Dalla figura, possiamo mostrare che,
[matematica] \ frac {mgsin (a)} {mg} = sin (a) = \ frac {x} {z} [/ math].
Quindi più piccola la x, minore sarà il movimento che causa la forza e più sarà il tempo impiegato dalla palla per raggiungere il fondo. Galileo ha scoperto che le distanze percorse dalla palla alla fine del 2 °, 3 ° e 4 ° secondo sono rispettivamente 4, 9 e 16 volte la distanza percorsa alla fine del 1 ° secondo. Questo mostra che la velocità della palla aumenta in modo tale che le distanze percorse dalla palla aumentano con i quadrati del tempo di percorrenza. Ora la domanda era come mettere in relazione la velocità con il tempo data sopra la relazione distanza-tempo. Galileo ha detto che questo tipo di relazione distanza-tempo può essere ottenuto solo quando la velocità della palla è direttamente proporzionale al tempo. La figura seguente mostra il grafico velocità in funzione del tempo dellesperimento sopra menzionato e dellistruzione di Galileo:
Nella figura sopra, punto A corrisponde a una posizione zero della palla (nella parte superiore del piano inclinato) e il punto B corrisponde a una palla avente velocità v alla fine dellintervallo di tempo t. Sappiamo che larea del triangolo ABC ci dà la distanza percorsa dalla palla , s, nellintervallo di tempo (0, t). Quindi la distanza percorsa è,
s = \ frac {1} {2} vt.
Ma come per Galileo “s argomento, v è direttamente proporzionale a t cioè v = dove a è laccelerazione.
[math] s = \ frac {1} {2} vt = \ frac {1} {2} a ^ 2. [/ math]
Quindi la distanza percorsa aumenta come il quadrato del tempo che era la nostra osservazione sperimentale. Questa formula fornisce la distanza percorsa quando non cè velocità iniziale data alla palla. Ma quando la palla ha una certa velocità iniziale, u, il termine “ut” viene aggiunto alla formula precedente che è la distanza percorsa nel tempo t alla velocità u. Questo termine aumenterà semplicemente le distanze misurate nel nostro esperimento ma manterrà la stessa relazione distanza-tempo. Quindi la formula finale è:
s = ut + \ frac {1} {2} at ^ 2.
Risposta
Quando si cerca di dimostrare qualcosa di correlato a numeri interi positivi, il tuo primo pensiero dovrebbe essere linduzione. Il problema è che non esiste un modo immediatamente ovvio per procedere. Vogliamo essere in grado di aggiungere qualcosa a entrambi i lati della disuguaglianza, ma poi il limite sul lato destro aumenterebbe.
Il trucco a questo problema è rendere effettivamente il limite più forte di quanto non sia attualmente. Quindi, dimostreremo la dichiarazione correlata
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {n ^ 2} dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {n}
per tutti i numeri interi positivi n \ geq 3. Laffermazione originale segue da consentendo a n di avvicinarsi allinfinito.
Nota che, per ogni intero positivo k, abbiamo
\ dfrac {1} {k} – \ dfrac {1} {(k + 1 ) ^ 2}> \ dfrac {1} {k} – \ dfrac {1} {k (k + 1)} = \ dfrac {k} {k (k + 1)} = \ dfrac {1} {k + 1}.
Sapendo questo, possiamo procedere per induzione.
Poiché \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} = \ dfrac {13} {36} dfrac {5} {12} = \ dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {3}, il caso di base n = 3 è vero.
Ora, supponi che laffermazione sia vera per qualche k, vale a dire che
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} { 4 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {k ^ 2} dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {k}.
Vogliamo dimostrare che il listruzione vale anche per k + 1. A tale scopo, aggiungi \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2} su entrambi i lati:
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2 } + \ cdots + \ dfrac {1} {k ^ 2} + \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2} dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {k} + \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2}.
Dalla disuguaglianza che abbiamo dimostrato sopra, questo si semplifica in
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {k ^ 2} + \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2} dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {k + 1},
che è esattamente ciò che volevamo dimostrare.
Pertanto, in base al principio dellinduzione matematica, laffermazione modificata vale per tutti gli interi n \ geq 3, quindi anche laffermazione originale è vera.
EDIT: Come ha sottolineato Predrag Tosic nei commenti, quando permettiamo a n di avvicinarsi allinfinito, il segno eve essere cambiato in un \ leq in caso i due lati della disuguaglianza convergono allo stesso valore.Tuttavia, questo può essere risolto provando invece la disuguaglianza
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {n ^ 2} dfrac {3} {4} – \ epsilon – \ dfrac {1} {n}
per qualche piccolo valore di \ epsilon ( diciamo, \ dfrac {1} {100}), che quando n si avvicina a infinito restituirebbe
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ cdots \ leq \ dfrac {3} {4} – \ epsilon,
da cui segue laffermazione desiderata.