Risposta migliore
Ci sono alcuni modi per risolvere unequazione quadratica. È possibile utilizzare la funzione di risoluzione del componente aggiuntivo. Non ho molta familiarità con come funziona, ma è un suggerimento per te.
Altri modi che conosco sono la creazione di una tabella o la rappresentazione grafica.
Supponiamo di avere il equazione semplice: 0 = x ^ 2 + 7x + 10. Ora sappiamo che se escludiamo questo fattore otteniamo (x + 5) (x + 2) = 0, questo significa x = -2, -5. Ma allo stesso tempo, possiamo usarlo come guida per vedere come controllare la nostra soluzione in Excel.
La prima cosa che possiamo fare è creare una tabella Excel. Quello che mi piace fare è impostare una tabella Excel. Ho i valori x nellintervallo a sinistra da -50 a 50. Dopodiché posso semplicemente inserire lequazione come tale:
= [@x]*[@x] + 7*[@x] + 10
o
=power([@x],2) + 7*[@x] + 10
[@x] fondamentalmente è il riferimento di cella per i valori x nella colonna (ti fornirò unimmagine di come funziona a breve).
Se guardi lequazione che ci è stata data in precedenza, 0 = x ^ 2 + 7x + 10. Ciò significa che stiamo impostando y = 0 (perché lintera equazione è y). Ciò significa che, in termini di tabella Excel, dobbiamo cercare i valori x nel lato sinistro che avranno uno 0 accanto allorlo nella colonna y. Osserva di seguito:
Se noti, abbiamo due valori che hanno uno zero accanto a loro, il -2 e -5. Queste sono le soluzioni dellequazione.
Un altro esempio potrebbe essere il grafico della tua equazione. Qui, possiamo utilizzare la nostra tabella Excel come dati della serie per tracciare i punti.
Tracciare i punti sul grafico non lo renderà subito ovvio. Quindi potrebbe essere necessario regolare il minimo e il massimo degli assi. Nel mio grafico, ho regolato lasse x in modo che andasse da -10 a 5 e lasse y da -10 a 10.
Se noti, il grafico incrocia x = -2 e incrocia x = -5. Quindi siamo stati in grado di risolvere anche graficamente lequazione.
Risposta
Immagino che per duro intendi “difficile da fattorizzare”. Consideriamo unespressione generale di ax ^ 2 + bx + c.
Per “risolverlo”, impostiamo questo valore uguale a 0, e quindi otteniamo ax ^ 2 + bx + c = 0. Trova x è il tuo dovere.
Dio, sarebbe DAVVERO utile se ci fosse una soluzione semplice che funzioni per qualsiasi coefficiente generale. Fortunatamente per noi, cè, ed è piuttosto facile da trovare (non provare a farlo con equazioni cubiche o superiori, beh puoi provare a trovarlo, ma è MOLTO difficile da trovare a questo livello).
Quindi, vogliamo pensarci attentamente. Qual è il problema con la risoluzione per x qui?
In una normale equazione lineare, come ax + b = 0, è facile. x è unoccorrenza. Il problema con la quadratica è quel fastidioso formato ax ^ 2 + bx, poiché la nostra strategia di sottrarre una costante e dividere per ottenere x non funziona, dobbiamo alterarla e non possiamo usare facilmente la fattorizzazione, poiché ci sarà sempre un deficit “x” di uno se proviamo a fattorizzare x o x ^ 2.
Ebbene, accidenti, cosa facciamo qui allora? Abbiamo una parte quadrata, ciò deve significare che dobbiamo in qualche modo ottenere qualcosa di quadrato, come (?) ^ 2 = gx ^ 2 + hx + e, dove potremmo in seguito aggiungere come f per essere una costante che possiamo facilmente sottrarre come il nostro esempio di equazione lineare. Chiaramente, il? deve contenere una x singolare da qualche parte, ma dobbiamo anche aggiungere una costante alla parte x, poiché la proprietà distributiva altererà la costante con la x, e lo farà anche con x e se stessa, e una costante, creando un singolare x, senza esponente. Saremo quindi in grado di calcolare la radice quadrata di qualsiasi costante che abbiamo sullaltro lato e quindi risolverlo come unequazione lineare.
Quindi, mettiamoci in detta posizione.
dividiamo la nostra equazione originale su entrambi i lati per a, così posso ottenere una x ^ 2 “pura” e non è necessario utilizzare \ sqrt {a} come coefficiente che sarà più complicato.
Otteniamo x ^ 2 + \ frac {b} {a} x + c / a = 0.
Ok, quindi la nostra forma di? deve essere x + k in quanto non può esserci un coefficiente di x che non sia uno poiché la distribuzione non produrrebbe un x ^ 2 “puro”. Cosè k allora? Bene, pensiamo qui per un po : vogliamo forzare in un modo per ottenere hx = \ frac {b} {a} x. Ogni volta che eseguo il quadrato di qualcosa e vengono aggiunti due termini, devo usare la distribuzione per andare “a tratti”. Dal momento che quando lo elevo al quadrato, moltiplico questa quantità (sommando i due termini) per se stessa, otterrò come detto x ^ 2 dal termine x, una costante dal termine k, ma anche kx passando per k in la prima quantità moltiplicando la x nella seconda, e x e k nellaltro modo, ma le aggiungo per ottenere 2kx. [per vedere questo, scrivi (x + k) (x + k), distribuisci per ottenere (x + k) x + (x + k) k. Ora, distribuiscilo e disegna i percorsi per ottenere x ^ 2 + kx + kx + k ^ 2, che dà x ^ 2 + 2kx + k ^ 2]
Quindi, qualunque sia questo k sarà, dobbiamo avere 2kx = \ frac {b} {a} x ma questo significa k = \ frac {b} {2a}. Ok, ORA stiamo arrivando da qualche parte.Ricorda il fatto che stiamo quadrando, alcuni (x + k) ^ 2, e quando espanderò questo get (x + k) (x + k), seguirò un percorso di moltiplicazione per distribuzione. Uno di questi percorsi che devo seguire è k volte k, ma sappiamo già cosè k, quindi dobbiamo avere una costante k ^ 2 = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}. Quindi, aggiungiamolo a entrambi i lati, cosa che possiamo fare, poiché è costante e non ci interessa quale costante otteniamo dallaltra parte, vogliamo solo tenere conto di questo pasticcio.
Quindi facciamo proprio questo e otteniamo
x ^ 2 + \ frac {b} {a} x + \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2} + c / a = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}
E ora, abbiamo tutti i termini che ci consentono di scomporlo in un (x + k) ^ 2 = formato costante, proprio quello che volevamo! Abbiamo scoperto che k è \ frac {b} {2a}, quindi lo abbiamo semplicemente considerato.
(x + \ frac {b} {2a}) ^ 2 + c / a = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}
Ora vogliamo fare un bel pasticcio, nota che alla fine arriveremo alla radice quadrata una volta sottratte le costanti e abbiamo in un termine un denominatore di 4a ^ 2, che è molto facilmente a radice quadrata. Rendiamo c / a compatibile con questo, moltiplicandolo per 1, che non cambia nulla, ma 1 = 4a / 4a. Non dobbiamo preoccuparci di a = 0 poiché se lo fosse avremmo unequazione lineare, che non è ciò su cui ci concentriamo.
Quindi, otteniamo (x + \ frac {b } {2a}) ^ 2 + 4ac / 4a ^ 2 = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}
Ottimo, quindi ora sottrai il secondo termine poiché hanno denominatori comuni e noi ottieni
(x + \ frac {b} {2a}) ^ 2 = \ frac {b ^ 2-4ac} {4a ^ 2}
E il lato destro è costante ora , possiamo facilmente radicare entrambi i lati!
Otteniamo
x + \ frac {b} {2a} = \ frac {\ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a }
Questo non è del tutto corretto, poiché dobbiamo renderci conto che quando radico al quadrato un numero positivo, d ^ 2, d potrebbe essere positivo o negativo. Quindi, per buona misura, aggiungiamo un segno più o meno e otteniamo
x + \ frac {b} {2a} = \ frac {\ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} { 2a}
E ora possiamo sottrarre quel k, poiché ora abbiamo unequazione lineare da risolvere, come volevamo, e otteniamo
x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a}