Migliore risposta
Una trasformazione di matrice è su se e solo se la matrice ha una posizione pivot in ogni riga. Row-riducilo e poi verifica se il numero di pivot è uguale al numero di righe.
Ok, a parte questo, devo fare il mio sproloquio ora.
Ogni volta che qualcuno applica laggettivo “su” o “linearmente indipendente” a una matrice, rabbrividisco un po . Questo è un errore di categoria. Invece, dì: “Come fai a sapere se una matrice trasformazione è in corso?”
Vedi, la terminologia è molto importante in matematica . La bellezza dellalgebra lineare è che dato un sistema lineare o una trasformazione lineare, puoi scrivere una matrice, che è solo un rettangolo con numeri in essa, associata a quel sistema lineare o trasformazione lineare. Quindi, facendo varie cose con la scatola dei numeri si ottiene indietro tutti i tipi di informazioni sul sistema o sulla trasformazione originale. Lalgebra lineare è principalmente lo studio di queste relazioni. Tuttavia la maggior parte degli studenti di algebra lineare, quando usano la terminologia in modo improprio, rivelano di non capire bene come ci siano effettivamente concetti separati da mettere in relazione.
Laggettivo “su” semplicemente non si applica alle matrici. È come chiedere: “Come puoi sapere se un letto ha sonno?” Il fatto che tu stia facendo questa domanda significa che non capisci cosa significa sleepy o cosa bed significa, o entrambi.
Ecco un cheat sheet con i principali tipi di oggetti incontrati nellalgebra lineare, insieme ad alcuni dei termini più comuni usati per descriverli:
Per le matrici A, B , le seguenti frasi non sono incomprensibili:
– A è in (forma scaglione di riga / forma scaglione di riga ridotta)
-pivot (posizioni / righe / colonne ) di A;
-A è (quadrato / diagonale / invertibile / triangolare superiore / triangolare inferiore)
– (Rango / Determinante / Autovalori / Autovettori / Polinomio caratteristico) di A
– (spazio nullo / spazio colonna) di A;
– A è (riga equivalente / simile) a B
-La trasformazione della matrice \ mathbf x \ mapsto A \ mathbf x
Se A x = b è un sistema di equazioni lineari , le seguenti frasi non sono incomprensibili:
– (Soluzione / Insieme di soluzioni / Soluzione generale) del sistema
-Il sistema ha (una soluzione unica / nessuna soluzione / infinite soluzioni / n variabili libere)
-Il sistema è (coerente / incoerente / sottodeterminato / sovradeterminato)
– (Matrice coefficiente / Aumentato matrice) del sistema
Se T: \ mathbb R ^ n \ mapsto \ mathbb R ^ m è una trasformazione lineare , la seguente le frasi non sono gibberi sh. Nota che se A è una matrice, allora si può parlare della trasformazione della matrice \ mathbf x \ mapsto A \ mathbf x, che è una trasformazione lineare.
– (Dominio / Codominio / Intervallo) di T
– T è (su / uno-a-uno / invertibile)
-Matrice standard di T; matrice di T rispetto alle basi \ beta\_1, \ beta\_2
– (Rango / Determinante / Autovalori / Autovettori / Caratteristica polinomio) di T
Se S = \ {v\_1, v\_2, \ ldots, v\_n \} è un set di vettori in \ mathbb R ^ m , le seguenti frasi non sono incomprensibili. Tieni presente che se A è una matrice m \ times n, le colonne di A formano un insieme di questo tipo.
– S è linearmente (indipendente / dipendente)
-Span di S
-S (si estende su V / è una base per V ), dove V è un sottospazio di \ mathbb R ^ m
Risposta
Una matrice quadrata di dimensione finita si trova solo nel caso in cui il suo determinante è diverso da zero. Puoi verificarlo in modo più efficiente con leliminazione gaussiana.
Più in generale, una matrice rettangolare finita è sulla quale si trova solo nel caso in cui la sua trasposizione è iniettiva, il che si verifica nel caso in cui le righe (o le colonne della matrice originale, a seconda della convenzione che usi per linput e il risultato) sono linearmente indipendenti, vale a dire che la matrice ha un rango di riga completo. Ancora una volta, leliminazione gaussiana è tua amica: metti la matrice in forma di scaglione di riga e controlla se la voce in basso a destra è zero (equivalentemente, se ci sono righe di tutti zeri). La matrice si trova su se e solo se la voce in basso a destra è diversa da zero.