Migliore risposta
Inizia con la soluzione. Ad esempio, se vuoi che la soluzione sia x = 1, il fattore corrispondente sarà x – 1. Poiché questa è lunica soluzione, dovranno essere entrambi i fattori, il che rende lequazione
( x – 1) (x – 1) = 0
o
x ^ 2 – 2x + 1 = 0
Risposta
Le soluzioni di unequazione quadratica sono i due punti in cui il grafico incrocia lasse x. Cioè, sono i due valori di x che rendono y zero sul grafico.
Otteniamo questi punti fattorizzando lequazione. Per prima cosa riscriviamo lequazione nella forma 0 = ax ^ 2 + bx + c.
Se è abbastanza semplice, possiamo fattorizzare il lato destro osservandolo. Ad esempio, se lequazione è: 0 = x ^ 2 + 7x + 12, con un po di pratica puoi riconoscere che tale fattore diventa 0 = (x + 3) (x + 4).
Il motivo Il factoring è così importante è il fatto che se il prodotto di due numeri è uguale a zero, uno dei termini DEVE essere zero. Quindi, poiché abbiamo 0 sul lato sinistro e un prodotto sul lato destro (x + 3) (x + 4), uno di questi termini deve essere zero.
Quindi, o x + 3 = 0, o x + 4 = 0. Possiamo risolvere per x in entrambi i casi e otteniamo x = -3 o x = -4. Ciò significa che il grafico della nostra equazione incrocia lasse x in due punti, -3 e -4, quindi il grafico di questa equazione è una parabola (tutte le equazioni quadratiche sono parabole) spostata a sinistra e in basso, quindi i due le braccia della parabola attraversano lasse x a -3 e -4.
A volte non è facile fattorizzare lequazione osservandola. Possiamo usare la formula quadratica in quel caso. (È davvero divertente derivare la formula quadratica: se non sai come e vorresti che te lo mostrassi, chiedi pure.)
Ecco la formula quadratica:
x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2 – 4ac}} {2a}
Per testarlo, se inseriamo a, b e c dalla nostra equazione, 0 = x ^ 2 + 7x + 12, quindi a = 1, b = 7, c = 12 e inserendo la formula otteniamo:
x = \ frac {-7 \ pm \ sqrt {7 ^ 2 – 4 (1) (12)}} {2 (1)}
= \ frac {-7 \ pm \ sqrt {49 – 48}} {2}
= \ frac {-7 \ pm \ sqrt {1}} {2}
= \ frac {-7 + 1} {2} e \ frac {-7 – 1} {2}
= \ frac {-6} {2} = -3 e \ frac {-8} {2} = -4. Quindi ha funzionato!
Ok, tutto ciò è preliminare alla tua domanda. La tua domanda è: quando sono le soluzioni a unequazione quadratica infinito. Bene, pensiamo a cosa significa. Innanzitutto è chiaro che non è possibile avere una soluzione allinfinito ma laltra soluzione finita. Se così fosse, avremmo un numero finito per infinito, che non può essere uguale a zero.
Quindi la domanda è: è possibile che sia soluzioni per essere infinito? Come sarebbe questo?
Nella formula quadratica, lunico modo per renderlo infinito sarebbe se a = 0. Allora il denominatore sarebbe zero, e quindi lintera equazione sarebbe “infinito”. Ma se a = 0, lequazione non è più quadratica, è lineare, giusto? Ad esempio, 0 = 0x ^ 2 + 7x + 12 è uguale a 0 = 7x + 12. Questa è solo una linea, è lineare, non quadratica. Ma ogni linea incrocia lasse x da qualche parte, giusto? Lunica volta che non lo fa è quando è parallelo allasse x. Cioè, quando ha una pendenza di 0. Ciò significa che b = 0. Quindi ora abbiamo 0 = 0x ^ 2 + 0x + c. In altre parole, 0 = c. Ma allora c = 0.
In altre parole, non esiste unequazione del genere. Come diceva laltra risposta, tutte le equazioni quadratiche attraversano lasse x in un punto finito. (Si noti che questi punti non sono necessariamente reali! Se b ^ 2 – 4ac è negativo, lequazione ha effettivamente radici immaginarie. Ma sono ancora finite.)