Migliore risposta
Gavin Song ti ha già dato unottima risposta, ma farò del mio meglio per fornirti unalternativa modo di affrontare questo problema usando il calcolo.
Fatto: qualsiasi ellisse 2D può essere parametrizzata come
\ begin {align *} y (t) & = a \ sin (t) \\ x (t) & = b \ cos (t) \ end {align *}
Dove 0 \ leq t \ leq 2 \ pi e aeb sono il semi-minore e il semi-maggiore assi (ovvero i raggi verticale e orizzontale) rispettivamente.
Considera che un punto ha un cambiamento nellasse x e un altro nellasse y, diciamo \ Delta y e \ Delta x. Usando il teorema di Pitagora, sappiamo che la lunghezza tra la posizione iniziale e quella finale del punto è data da (\ Delta y ^ 2 + \ Delta x ^ 2) ^ {1/2}. Semplice, vero?
Ora, applica quella logica allellisse parametrizzata. Per approssimare il perimetro dellellisse potremmo “seguire” un punto dellellisse lungo diversi passaggi in t, misurare la lunghezza tra le sue posizioni ad ogni intervallo e sommarli alla fine. Se provi a farlo da solo, noterai che la misurazione diventa sempre più accurata se consideriamo intervalli sempre più piccoli. Quindi, per ottenere il vero perimetro, potremmo eseguire questo processo per intervalli infinitamente piccoli, che darebbero cambiamenti infinitamente piccoli in x e y, diciamo dx e dy. Ciò equivale a valutare il seguente integrale:
\ int\_ {0} ^ {2 \ pi} (dx ^ 2 + dy ^ 2) ^ {1/2}
Sia il perimetro espresso come l. Se usiamo la parametrizzazione di prima, possiamo esprimerla come
\ begin {align *} l & = \ int\_ {0} ^ {2 \ pi} \ Big (\ Big (\ frac {dy } {dt} \ Big) ^ 2 + \ Big (\ frac {dx} {dt} \ Big) ^ 2 \ Big) ^ {1/2} dt \\ & = \ int\_ {0} ^ {2 \ pi } (a ^ 2 \ cos ^ 2 (t) + b ^ 2 \ sin ^ 2 (t)) ^ {1/2} dt \ end {align *}
Tuttavia, cè un problema. Questo integrale non ha una soluzione simbolica a meno che a = b (che ci dà elegantemente la formula per il perimetro di un cerchio), quindi la nostra unica opzione è usare metodi numerici per ottenere una buona approssimazione. Questo può essere interessante o deludente per te, ma in ogni caso spero che ti sia stato daiuto.
🙂
Risposta
Se sopporterai con me lo farò considera questa domanda al contrario.
Supponi che un cerchio e unellisse abbiano aree uguali.
La mia domanda è “Hanno gli stessi perimetri?”
(Notare che quando a = b = r la formula è la stessa dellarea del cerchio.)
La circonferenza di un cerchio è 2πr
La circonferenza di unellisse è molto difficile da calcolare!
Le persone hanno cercato di trovare formule per trovare la circonferenza di unellisse, ma la maggior parte dei tentativi sono solo approssimazioni.
Alcuni metodi implicano persino la somma di serie infinite!
Il famoso matematico indiano Ramanujan ha elaborato unottima formula che è abbastanza preciso.
Nota che se a = b = r, lellisse diventa un cerchio e la formula sopra si trasforma nel formula per la circonferenza del cerchio C = 2πr .
Se sostituiamo questo nella sua formula otteniamo:
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
Consideriamo un esempio particolare in cui il cerchio ha un raggio di 6 cm e unellisse ha lasse maggiore di 9 cm e lasse minore 4 cm.
Area del cerchio = π × 6 × 6 = 36π cmq
Area di ellisse = π × 9 × 4 = 36π cmq
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La circonferenza del cerchio = 2πr = 12π cm
La circonferenza dellellisse utilizzando la formula di Ramanujan è:
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Conclusione, se il cerchio e lellisse hanno la stessa area, l ellisse ha un maggiore circonferenza rispetto al cerchio .