Migliore risposta
Dì, 2 ^ 32 + 1 è divisibile per m.
Quindi, 2 ^ 32 = -1 (mod m)
(2 ^ 32) ^ 3 = (- 1) ^ 3 ( mod m)
2 ^ 96 = -1 (mod m)
2 ^ 96 + 1 = 0 (mod m)
Quindi, la risposta corretta è 2 ^ 96 + 1
Risposta
Non lo fai. Ad esempio, guarda cosa succede quando x = 12. Ottieni x ^ 2 = 144 = 24 \ cdot 6 ma x non è divisibile per 24.
Potrei fermarmi qui, ma non sarebbe istruttivo , tranne per dire che hai torto. Non è particolarmente utile.
Dopo tutto, posso provare che se k | x ^ 2 (leggilo come “k divide x ^ 2), quindi k | x per molti k, inclusi 21, 22, 23, 26, 29 e 30, ma non per 20, 24, 25, 27 o 28. Qual è la differenza? È qui che le cose si fanno interessanti e istruttive.
Cosa sappiamo di x? Sappiamo, dal Teorema fondamentale dellaritmetica, che x può essere rappresentato in modo univoco come un prodotto di numeri primi, x = 2 ^ {a\_2} 3 ^ {a\_3} 5 ^ {a\_5} \ cdots. Qualunque (o tutti, per x = 1) di quei valori a\_p potrebbe essere 0, e in effetti, solo un numero finito di essi è diverso da zero.
Ciò significa che x ^ 2 = 2 ^ { 2a\_2} 3 ^ {2a\_3} 5 ^ {2a\_5} \ cdots. Tutti gli esponenti ora sono pari.
Cosa sappiamo di k? Con lo stesso teorema, sappiamo che k = 2 ^ {k\_2} 3 ^ {k\_3} 5 ^ {k\_5} \ cdots.
Come si collega alla divisibilità? Se k | x ^ 2, questo significa che k\_2 \ leq 2a\_2, k\_3 \ leq 2a\_3, \ dots, k\_p \ leq 2a\_p, \ dots. Tuttavia, se k | x, questo significa che k\_2 \ leq a\_2, k\_3 \ leq a\_3, \ dots, k\_p \ leq a\_p.
Quindi tutto ciò che dobbiamo fare per provare se x ^ 2 è divisibile per k, allora x è divisibile per k è mostrare che se k\_p \ leq 2a\_p, allora k\_p \ leq a\_p. Poiché k\_p, a\_p può essere qualsiasi numero intero non negativo, allora possiamo guardare al problema più semplice: in quali condizioni abbiamo b \ leq 2c che implica b \ leq c?
Fondamentalmente, stiamo cercando di trovare valori di b dove lespressione c \ leq 2c non vale per c. Poiché non cè c , allora b = 0 funziona. Per b = 1, siamo costretti ad avere c = 0 , quindi 1 \ non \ leq 2c = 0, quindi b = 1 funziona.
Ma per b> 1, non funziona lavoro. Puoi sempre scegliere c = b-1
Per riportare questo al nostro problema, ciò significa che possiamo dire k | x ^ 2 \ implica k | x solo quando gli esponenti dei numeri primi in k sono 0 o 1. Questi valori di k sono chiamati “quadrati liberi” perché non puoi dividerli per un numero quadrato.
Quindi puoi mostrare k | x ^ 2 \ implica k | x se k è senza quadrato.
Per i numeri che ho visto sopra, 20 è divisibile per il quadrato 4, 24 è divisibile per il quadrato 4, 25 è quadrato, 27 è divisibile per il quadrato 9 , 28 è divisibile per il quadrato 4. Gli altri numeri, 21, 22, 23, 26, 29, 30, sono tutti quadrati, che puoi controllare se lo desideri.