Migliore risposta
La presenterò come se tutti fossero daccordo, il che non è proprio vero.
Ogni numero, reale o complesso, ha due radici quadrate che sono negazioni luna dellaltra. Leccezione è zero, che è la sua stessa negazione.
Il dominio della radice quadrata può essere costituito dai numeri reali o complessi e le convenzioni sono leggermente diverse. Concentriamoci prima sulla radice quadrata dei numeri reali.
Il segno radicale \ sqrt {x} quando applicato a un numero reale denota il principale o radice quadrata positiva. Se x \ ge 0 allora \ sqrt {x} \ ge 0. Quindi, per rispondere alla domanda con qualifiche, la radice quadrata principale di un numero positivo è sempre positiva, per definizione.
La radice quadrata principale di un reale negativo è un tempo reale positivo i. Anche se i numeri complessi non sono ordinati, cè un ordine importante sullasse immaginario analogo a quello sullasse reale.
Quando parliamo di “radice quadrata” di solito ci riferiamo alla radice quadrata principale. Quando parliamo di “radice quadrata” intendiamo entrambi. In questa domanda lOP non fornisce un articolo, quindi nessun aiuto qui.
Quando abbiamo a che fare con le radici quadrate di numeri reali, è molto importante che capiamo
\ sqrt {x} \ ne \ pm \ sqrt {x}
Quando il dominio è reale, \ sqrt {x} è una funzione dai numeri reali al complesso. Assume un unico valore univoco per ogni x reale. È sempre 0, un numero reale positivo o un numero reale positivo moltiplicato per i. È una delle due radici quadrate che è stata definita come radice quadrata principale.
A meno che i valori principali non siano esplicitamente richiesti, la radice quadrata di un numero complesso \ sqrt {z} dovrebbe essere trattata come un espressione multivalore. Quindi qui direi \ sqrt {z} = \ pm \ sqrt {z}.
Quando vogliamo esplicitamente lespressione multivalore, lespressione the si riferisce a entrambe le radici quadrate, o w tale che w ^ 2 = z. Preferisco \ pm \ sqrt {z}. Ma \ pm può diventare confuso e ambiguo, quindi può andare in entrambi i casi.
Più controverso, tratto il numero naturale reciproco come un esponente, z ^ {\ frac 1 2}, come lespressione multivalore che si riferisce a tutte le radici, non a una funzione.
Di solito si ignora esattamente cosa significhi luguaglianza delle espressioni multivalore, specialmente il fastidioso problema che 1 ^ {\ frac 1 2} \ ne 1 ^ {\ frac 2 4} . Forse.
Risposta
Hmm, questa è complicata … Quindi, ecco qui:
La radice quadrata è una funzione matematica e, la sua il nome effettivo è la funzione radice quadrata positiva, che evidentemente fornisce tutti i + ve valori. La ragione di questa distinzione è che in una funzione matematica f (x, y) per ogni valore di x, deve esserci un valore univoco di y. Pertanto, la radice quadrata di 4 non può essere +2, -2, per definizione! Pertanto, come norma, consideriamo positiva solo la funzione radice quadrata.
Questo crea molta confusione perché il quadrato di +2 e -2 è 4, ma la radice quadrata di 4 può assumere solo il valore di +2, ma immagino che sia linsieme di regole che rispettiamo. Sentiti libero di pensare a un sistema diverso, in cui la funzione della radice quadrata fornisce entrambi i valori + ve e -ve, anche se immagino che porterebbe a un enorme disordine da qualche parte lungo la strada. Tuttavia, la bellezza di la matematica è in fase di sperimentazione!