Migliore risposta
La risposta breve è, sì, il lintervallo di una matrice è lo stesso del suo spazio della colonna, ma cè una sottigliezza.
Dato un numero m, possiamo vedere questo numero come una costante o come un mezzo per definire una funzione lineare, f (x) = mx. Allo stesso modo, possiamo vedere una matrice \ mathbf {M} come un array di numeri (noioso) o come un mezzo per definire una funzione lineare f (\ mathbf {x}) = \ mathbf {M} \ mathbf {x}.
Il termine intervallo si riferisce allinsieme di output che f () può restituire ed è tipicamente definito come una proprietà di funzioni, non di numeri.
Lo spazio delle colonne , daltra parte, è tipicamente definito come una proprietà della matrice stessa. E poiché lo spazio della colonna è linsieme di tutte le possibili combinazioni lineari (ovvero span ) di le colonne di \ mathbf {M}, questo può essere scritto come \ {\ mathbf {M} \ mathbf {x} | \ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} \}, che è il intervallo di f sopra.
Risposta
Lintervallo di una matrice è lintervallo della matrice vista come una trasformazione lineare. Una matrice n-per-p (reale) A è anche una trasformazione lineare da R ^ p a R ^ n (lo spazio euclideo p- dimensionale allo spazio euclideo n-dimensionale). Il dominio è R ^ p e lintervallo consiste di tutte le combinazioni lineari delle colonne di A, cioè linsieme \ {Ax: x \ in R ^ p \} (x un vettore colonna.)
Se A ha rango p, allora lintervallo ha rango p, e questo è possibile se n> = p.
Lo stesso vale per una matrice complessa A come trasformazione lineare da C ^ p a C ^ n dove C è il campo dei numeri complessi.